2014届高三数学一轮复习：两角和与差的三角函数

一、两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ其公式变形为：tanα＋tanβ＝；tanα－tanβ＝；tanαtanβ＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋β二、二倍角的公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2αtan2α＝.2tanα1－tan2α其公式变形为：sin2α＝；cos2α＝.1－cos2α21＋cos2α2[小题能否全取]1．(2011·福建高考)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.答案：D2．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1解析：原式＝sin68°cos23°－cos68°sin23°＝sin(68°－23°)＝sin45°＝22.答案：B3．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1322C.16D.322解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.所以tanα＋π4＝tan(α＋β)－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.答案：D4．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ＝_______.解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35，①×3－②得2cosαcosβ＝4sinαsinβ，即tanαtanβ＝12.答案：125．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝13，且α∈(0，π)，则α＝________.解析：∵α＝(α－β)＋β，∴tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12＋131－12×13＝1，又∵α∈(0，π)，∴α＝π4.答案：π41.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[例1](2011·广东高考)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.[自主解答](1)∵f(x)＝2sin13x－π6，∴f5π4＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．(2)∵α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，∴2sinα＝1013，2sinβ＋π2＝65.即sinα＝513，cosβ＝35.∴cosα＝1213，sinβ＝45.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1．(1)已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝________.(2)(2013·济南模拟)已知α为锐角，cosα＝55，则tanπ4＋2α＝()A．－3B．－17C．－43D．－7解析：(1)cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sinα＝255，故tanα＝2，tan2α＝2×21－4＝－43，所以tanπ4＋2α＝1－431＋43＝－17.答案：(1)－75(2)B三角函数公式的逆用与变形应用[例2](2013·德州一模)已知函数f(x)＝2cos2x2－3sinx.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且fα－π3＝13，求cos2α1＋cos2α－sin2α的值．[自主解答](1)∵f(x)＝2cos2x2－3sinx＝1＋cosx－3sinx＝1＋2cosx＋π3，∴周期T＝2π，f(x)的值域为[－1,3]．(2)∵fα－π3＝13，∴1＋2cosα＝13，即cosα＝－13.∵α为第二象限角，∴sinα＝223.∴cos2α1＋cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα＝cosα＋sinα2cosα＝－13＋223－23＝1－222.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．(1)(2012·杭州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为()A.45B.35C.32D.35(2)若A＋B＝60°，则tanA＋tanB＋3tanA·tanB＝________.解析：(1)由条件得32sinα＋32cosα＝435，即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.(2)∵tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanA·tanB)＝tan60°(1－tanA·tanB)＝3－3tanA·tanB，∴原式＝3－3tanA·tanB＋3tanA·tanB＝3.答案：(1)A(2)3角的变换[例3](1)(2013·温州模拟)若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．[自主解答](1)由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，则tanα＝2.故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250.[答案](1)43(3)172501．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α；α＝π4－π4－α.3．(2011·浙江高考)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69解析：∵0απ2，∴π4α＋π434π.∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.∵cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63.∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.答案：C[典例](2012·广东高考)已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)．[尝试解题](1)∵f(x)＝2cosωx＋π6，ω0的最小正周期T＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)知f(x)＝2cos15x＋π6，而α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，∴2cos155α＋5π3＋π6＝－65，2cos155β－5π6＋π6＝1617，即cosα＋π2＝－35，cosβ＝817，于是sinα＝35，cosα＝45，sinβ＝1517，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝45×817－35×1517＝－1385.1.在解答本题时有两点容易失误：(1)忽略角α，β的范围，求解cosα，sinβ的值时出错；(2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误.2.解决三角函数问题时，还有以下几点容易失误：(1)对公式记忆不准确而使公式应用错误；(2)三角公式不能灵活应用和变形应用；(3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.针对训练已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，若α、β∈－π2，π2，则α＋β＝()A.π3B.π3或－23πC．－π3或23πD．－23π解析：由题意得tanα＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4，∴tanα0，tanβ0，又α，β∈－π2，π2，故α，β∈－π2，0，∴－πα＋β0.又tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.∴α＋β＝－2π3.答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1．(2012·北京西城区期末)已知函数f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零点；(2)求f(x)的最大值和最小值．解题训练要高效见“课时跟踪检测（二十二）”解：(1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，所以sinx＝0或tanx＝－33.由sinx＝0，x∈π2，π，得x＝π；由tanx＝－33，x∈π2，π，得x＝5π6.综上，函数f(x)的零点为5π6，π.(2)f(x)＝32(1－cos2x)＋12sin2x＝sin2x－π3＋32.因为x∈