2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第二章 第4讲 函数的单调性与最值

考纲要求考纲研读1.会求一些简单函数的值域．2．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.利用函数单调性、图象等方法求一些简单函数的值域或最值；或以最值为载体求参数的范围，并能解决实际生活中的一些优化问题.第4讲函数的单调性与最值1．函数的单调性的定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有__________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的______________；如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有________，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的____________．单调增区间f(x1)f(x2)单调减区间f(x1)f(x2)2．用导数的语言来描述函数的单调性设函数y＝f(x)，如果在某区间I上___________，那么f(x)为区间I上的增函数；如果在某区间I上____________，那么f(x)为区间I上的减函数．f′(x)0f′(x)03．函数的最大(小)值设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有____________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值；如果存在定值x0∈A，使得对于任意x∈A，有___________恒成立，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值．f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)A．k－1．函数y＝x2－6x的减区间是()DA．(－∞，2]C．[3，＋∞)B．[2，＋∞)D．(－∞，3]2．函数y＝(2k＋1)x＋b在实数集上是增函数，则()A12B．k－12C．b0D．b03．已知函数f(x)的值域是[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为()DA．[－4,1]C．[－4,1]∪[0,5]B．[0,5]D．[－2,3]单调减区间是______________．[0，＋∞)－64．若函数f(x)＝(m－1)x2＋mx＋3(x∈R)是偶函数，则f(x)的5．(2012年安徽)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.例1：已知函数f(x)＝x2＋—(x≠0，a∈R)．考点1利用定义判断函数的单调性ax(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，求实数a的取值范围．(2)设x2x1≥2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2x1≥2得x1x2(x1＋x2)16，x1－x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，＋∞)是增函数只需f(x1)－f(x2)0，即x1x2(x1＋x2)－a0恒成立，则a≤16.当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．(1)利用增、减函数定义证明或判断函数的单调性，其步骤是：设出指定区间上的任意两个值→作差→变形→判符号→定结论．(2)本题还可以利用导数求解：f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立，故当a≤16时，f(x)在区间[2，＋∞)是增函数．【互动探究】2xx－1在区间(0,1)上1．试用函数单调性的定义判断函数f(x)＝的单调性．解：任取x1，x2∈(0,1)，且x1x2.则f(x1)－f(x2)＝2x1x1－1－2x2x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.由于0x1x21，x1－10，x2－10，x2－x10，故f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以，函数f(x)＝2xx－1在(0,1)上是减函数．考点2利用导数判断函数的单调性函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．解题思路：本题可用分离参数的方法结合不等式恒成立问题求解，也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区间的子区间的关系求解．例2：若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减解析：函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－ax＋a－1.令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意应有：当x∈(1,4)时，f′(x)＜0.当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，所以a的取值范围是[5,7]．【互动探究】＋mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是_________.m－12．(2010年天津)设函数f(x)＝x－1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)解析：已知f(x)为增函数且m≠0，所以2mx2＜1＋m2m.显然m0时不符合题意．则m0，即有1＋1m22x2.因为y＝2x2在x∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋1m2＜2，即m21，解得m－1.考点3函数的最值与值域例3：求下列函数的值域：(1)y＝3x＋2x－2；(2)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(3)y＝x2－xx2－x＋1；(4)y＝x＋4x.程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成A＋(A，解题思路：关于x的一次分式函数，可通过求关于x的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果；关于有理分式函数，去分母化成关于x的二次方Bx２－x＋1B是常数)的形式来求值域；可用换元法将无理函数化为有理函数或将已知等式化成关于x的二次方程，用判别式求函数的值域．解析：(1)方法一：y＝3x＋2x－2＝3x－6＋8x－2＝3＋8x－2，由于8x－2≠0，∴y≠3.∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R且y≠3}．方法二：由y＝3x＋2x－2，得x＝2y＋1y－3.∴y≠3.(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)．∴当x＝－5时，ymin＝－12.当x＝－2时，ymax＝3.∴y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．(3)方法一：y＝x2－xx2－x＋1＝1－1x2－x＋1.∵x2－x＋1＝x－122＋34，∴－13≤1－1x2－x＋11，即－13≤y1.故值域为－13，1.方法二：去分母，整理得(y－1)x2－(y－1)x＋y＝0.易知y≠1，故上式可看作是关于x的二次方程．∵x∈R，∴方程有实根．∴Δ＝(y－1)2－4y(y－1)≥0.解得－13≤y≤1.又y≠1，故值域为－13，1.(4)方法一：函数y＝x＋4x是定义域为{x|x≠0}的奇函数，故其图象关于原点对称，故只讨论x＞0时的最值，即可知x＜0时的最值．当x＞0时，y＝x＋4x≥2x·4x＝4，等号当且仅当x＝2时取得．当x＜0时，y≤－4，等号当且仅当x＝－2时取得．综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．方法二：任取x1，x2，且x1＜x2，∵f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2＋4x2＝x1－x2x1x2－4x1x2，∴当x≤－2或x≥2时，f(x)递增．当－2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．常用的求值域的方法有：①代入法：适用于定义域为有限集的函数．②分离系数法：若函数y＝f(x)解析式中含有|x|，x2，x，sinx，cosx等元素，又能用y表示出来，则利用这些元素的有界性解出y的范围．③配方法：适用于二次函数类的函数．④反函数法：适用于形如y＝ax＋bcx＋d类的分式函数．⑤判别式法：适用于形如y＝ax2＋bx＋cmx2＋nx＋p类的函数．⑥换元法：主要处理一些根式类的函数．⑦不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值．⑧最值法：通过导数法求出最值．【互动探究】3．求下列函数的值域：(1)y＝3x＋25－4x；(2)y＝－x2＋x＋2；(3)y＝3x2－1x2＋2.解：(1)y＝3x＋25－4x＝14×12x＋85－4x＝14×34x－5＋235－4x＝－34＋2345－4x.∴值域为yy≠－34.(2)y＝－x2＋x＋2＝－x－122＋94.∴值域是－∞，94.(3)由y＝3x2－1x2＋2可知，x∈R且(3－y)x2＝2y＋1，当y＝3时，显然不成立．∴y≠3，得：x2＝2y＋13－y.∵x2≥0，∴2y＋13－y≥0.解得：－12≤y＜3.∴函数值域为y∈－12，3.易错、易混、易漏6．求函数的单调区间时没有考虑定义域例题：(2010年广东珠海北大希望之星实验学校)函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是()A．(0,4)B．(0,2)C．(2,4)D．(2，＋∞)正解：由4x－x20得0x4，又由u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4知函数u在(2,4)上是减函数，根据复合函数的单调性知函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是(2,4)．故选C.【失误与防范】易忽略x需满足4x－x2＞0这个条件．C求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．有的函数既无最大值也无最小值，如y＝—.2．并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如y＝－x2；有的函数只有最小值而无最大值，如y＝x2；1x1．在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确．如函数f(x)＝1x的单调减区间为－∞，0和0，＋∞，而不能表述为－∞，0∪0，＋∞.