[名校联盟]福建省泉州市泉港三川中学九年级数学总复习课件：第21讲 直角三角形

宇轩图书下一页上一页末页目录首页第21讲直角三角形考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三考点直角三角形的性质、判定1．性质(1)直角三角形的两个锐角互余；(2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)；(3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；(4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．判定(1)有一个角是90°的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形；(4)有两个角互余的三角形是直角三角形．考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三(1)(2010·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()A．3、4、5B．6、8、10C.3、2、5D．5、12、13(2)(2009·济宁)如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP＝3，那么PP′的长等于()A．32B．23C．42D．33【点拨】本组题考查直角三角形的基础知识和相关性质、判定．【解答】(1)由勾股定理的逆定理可判定A、B、D三项均能构成直角三角形．∵(3)2＋22≠(5)2，∴选C.(2)由旋转的性质可得∠P′AP＝90°，AP′＝AP＝3，在Rt△APP′中，根据勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝32＋32＝32，∴选A.考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三(2009·绍兴)如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5m，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m，当端点B向右移动0.5m时，求滑杆顶端A下滑多少米？【点拨】本题注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件，可以使用勾股定理．【解答】设AE的长为xm，依题意，得CE＝AC－x.∵AB＝DE＝2.5，BC＝1.5，∠C＝90°，∴AC＝AB2－BC2＝2.5－1.52＝2.∵BD＝0.5，∴在Rt△ECD中，CE＝DE2－CD2＝DE2－CB＋BD2＝2.52－1.5＋0.52＝1.5.∴2－x＝1.5，x＝0.5，即AE＝0.5.考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三1．已知在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AC∶AB的值为(C)A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶3∶2D．1∶2∶32．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于(C)A．50°B．30°C．20°D．15°3．利用图①或图②两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理的数学表达式是a2＋b2＝c2.考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三4．如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过P作PC∥OA，交OB于点C，若∠AOB＝60°，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于23.(第4题)(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，分别以AB、AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°.(1)求∠DBC的度数；(2)求证：BD＝CE.答案：(1)∠DBC＝115°(2)先证△DAB≌△EAC，即得BD＝CE考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三6．如图，有一块四边形地ABCD，∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，DA＝13m，求该四边形地ABCD的面积．答案：36m2考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三考点训练21考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三直角三角形训练时间：60分钟分值：100分直角三角形训练时间：60分钟分值：100分考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2010·湛江)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A．1,2,3B．2,3,4C．3,4,5D．4,5,6【解析】∵32＋42＝52，∴3、4、5构成直角三角形．【答案】C考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三2．(2009中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.已知BC＝8，AC＝6，则线段CD的长为()A．10B．5C.245D.125【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.∵CD⊥AB，∴12AB·CD＝12AC·BC，即12×10×CD＝12×8×6，∴CD＝245.【答案】C考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三3．(2011中考预测题)下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3，4；②5,12,13；③2，3，4；④m2－n2，m2＋n2,2mn.其中是直角三角形的有()A．①②B．③④C．①③D．②④【解析】利用直角三角形的判定定理易得②④可组成直角三角形．【答案】D考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三4．(2009中考变式题)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为()A.32B.76C.256D．2【解析】连结AE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.设CE＝x，则BE＝AE＝3＋x.在Rt△ACE中，∵AC2＋CE2＝AE2，∴42＋x2＝(3＋x)2，解得x＝76.【答案】B考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三5．(2011中考预测题)有一张直角三角形纸片，两直角边长AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE(如图)，则CD等于()A.254cmB.223cmC.74cmD.53cm【解析】设CD＝xcm，则AD＝BD＝(8－x)cm，又AC＝6cm，在Rt△ACD中，根据勾股定理，得62＋x2＝(8－x)2，∴x＝74.【答案】C考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三6．(2009中考变式题)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是()A．13B．26C．47D．94【解析】SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝32＋52＋22＋32＝47.【答案】C考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三7．(2009中考变式题)如图，在△ABC中，∠C＝90°，EF∥AB，∠1＝50°，则∠B的度数为()A．50°B．60°C．30°D．40°【解析】∵EF∥AB，∴∠A＝∠1＝50°.∵∠C＝90°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－50°＝40°.【答案】D考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三8．(2009中考变式题)将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】α＝30°＋45°＝75°.【答案】D考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三9．(2011中考预测题)如图，在Rt△ABC中，以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则()A．S1＝S2B．S1S2C．S1S2D．无法确定【解析】∵AB2＝BC2＋AC2，∴π(AB2)2＝π·(BC2)2＋π·(AC2)2，∴S1＝S2.【答案】A考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三10．(2009中考变式题)如图，在△ABC中，DE是中位线，∠ABC的平分线交DE于F，则△ABF一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【解析】∵DE是中位线，∴DE∥BC.又∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠DFB，∴AD＝BD＝DF，∴∠AFB＝90°.【答案】B考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三11．(2009中考变式题)一架长25dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4dm，那么梯足将滑出()A．9dmB．15dmC．5dmD．8dm【解析】注意梯子的长是不变的，将滑出252－24－42－7＝15－7＝8(dm)．【答案】D12．(2011中考预测题)P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A、B两点除外)，过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作()A．1条B．2条C．3条D．4条【解析】过点P分别作两直角边的平行线，得2条直线；过点P作斜边AB的垂线，得到第3条直线．【答案】C考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三二、填空题(每小题4分，共20分)13．(2010·山西)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4cm，则AB＝________cm.【解析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”得斜边AB＝2CD＝2×4＝8(cm)．【答案】814．(2010·河南)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．【解析】∠1＝45°＋30°＝75°.【答案】75°考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三15．(2011中考预测题)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________．图甲图乙【解析】由勾股定理得52＋6＋62＝13，∴外围周长是4×(13＋6)＝4×19＝76.【答案】76考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三16．(2009中考变式题)若一个直角三角形的两边长分别是5、12，则第三边长为________．【解析】注意“两边长”没指明是直角边还是斜边，故要分类讨论：①当12为直角边时，第三边＝52＋122＝13；②当12为斜边时，第三边＝122－52＝119.【答案】13或11917．(2011中考预测题)若△ABC的三边分别是a、b、c，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，则△ABC是________三角形．【解析】把a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c移项，配方，得(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．【答案】直角考点知识精讲宇轩图书下一页上一页末页目录首页考点训练中考典例精析举一反三三、解答题(共32分)18．(12分)(2009中考变式题)如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE.(1)求证：∠AEC＝∠C；(2)求证：BD＝2AC；(3)若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周长．证明：(