中考数学高分突破课件【第19讲】解直角三角形

第二部分空间与代数第四章三角形第19讲解直角三角形高分突破在手中考高分无忧⊙考纲要求⊙1.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.⊙命题趋势⊙2010～2013年广东省中考题型及分值统计1.从近几年广东省命题地区的考试内容来看，本讲内容命题难度较大，是中考命题的热点，解直角三角形的应用是必考内容.2．题型以解答题为主．3.2014年考查重点可能是：（1）解直角三角形的实际应用如计算距离、高度、角度等的解答题.（2）在其他几何题里渗透考查．★中考导航★年份试题类型知识点分值2010填空题、解答题解直角三角形的应用、与其他几何题结合15分2011解答题解直角三角形的应用、与其他几何题结合14分2012解答题解直角三角形的应用7分2013解答题渗透解直角三角形3分★课前预习★1.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为（）A.B.C.D.h•sinα2.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=54，则AC=____________．3.（2013成都）如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米．A51004.（2013牡丹江）如图，AC是操场上直立的一个旗杆，从旗杆上的B点到地面C涂着红色的油漆，用测角仪测得地面上的D点到B点的仰角是∠BDC=45°，到A点的仰角是∠ADC=60°（测角仪的高度忽略不计）如果BC=3米，那么旗杆的高度AC=米．5.（2013聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：3，则AB的长为（）A．12B．43米C．53米D．63米A★考点梳理★1．解直角三角形(1)解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.(2)直角三角形的解法直角三角形解法按直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型：①已知一条直角边和一个锐角（如a，)其解法为：②已知斜边和一个锐角（如)其解法为：③已知两直角边（如a，b），其解法为：=．④已知斜边和一直角边（如c，a），其解法为：=.2．与解直角三角形有关的名词、术语(1)视角：视线与水平线的夹角叫视角．从下向上看，叫做；从上往下看，叫做．(2)方位角：目标方向线与正北方向线时的夹角．(3)坡度、坡角：坡面的铅直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比)，记作坡面与水平面的夹角()，叫做坡角．仰角俯角顺时针考点1.解直角三角形（2007、2008、2010～2012年考）1.如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（）A．30cmB．20cmC．10cmD．5cm思路点拨：因为教学用的直角三角板为直角三角形，所以利用三角函数定义，一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知角BAC的对边为BC，邻边为AC，根据角BAC的正切值，即可求出BC的长度．★课堂精讲★C2.（2013常德）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=31，AD=1．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．思路点拨：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=22，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=31，AD=1，∴AB=sinBAD=3，∴BD=22ADAB=22，∴BC=BD+DC=22+1；（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=21BC=2+21，∴DE=CE-CD=2-21，∴tan∠DAE=ADDE=2-21．考点2.解直角三角形的应用（2007～2009、2011、2012年考）3.（2013绵阳）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底中G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A．20米B．103米C．153米D．56米思路点拨：根据点G是BC中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB，在Rt△ABC中求出BC，在Rt△AFD中求出DF，继而可求出CD的长度．A4.（2013宿迁）某景区为方便游客参观，在每个景点均设置两条通道，即楼梯和无障碍通道．如图，已知在某景点P处，供游客上下的楼梯倾斜角为30°（即∠PBA=30°），长度为4m（即PB=4m），无障碍通道PA的倾斜角为15°（即∠PAB=15°）．求无障碍通道的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin15°≈0.21，cos15°≈0.98）思路点拨：根据题意，先在Rt△PBC中，利用三角函数的关系求得PC的长，再在Rt△APC中，利用三角函数的关系求得PA的长．4.解：在Rt△PBC中，PC=PB•sin∠PBA=4×sin30°=2m，在Rt△APC中，PA=PC÷sin∠PAB=2÷sin15°≈9.5m．答：无障碍通道的长度约是9.5m．5.（2013广州）如图，在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0.1海里）；（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．思路点拨：（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE即可；（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，由题意得，∠PAE=32°，AP=30海里，在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin32°≈15.9海里；（2）在Rt△PBE中，PE=15.9海里，∠PBE=55°，则BP=PBEsinPE≈19.4，A船需要的时间为：2003=1.5小时,B船需要的时间为：1519.4=1.3小时，故B船先到达．★随堂检测★1.（2013安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34，BC=8，则△ABC的面积为．2.（2013绥化）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长．242.解：∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，∴AD=21AB=4，BD=3AD=43．在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，∴DC=AD=4，∴BC=BD+DC=43+4．3.（2013山西）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．1003mB．502mC．503mD．33100mA4.（2013珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC.（结果精确的1米，参考数值：2≈1.4，3≈1.7）4.解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠BAD=∠ADC-∠B=60°-30°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD=62（米）．在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62×23=313≈31×1.7=52.7≈53（米）．答：小岛的高度是53米．5.解：由题意得，BC=80×21=40（海里），由图示可知，∠ACB=60°，根据平行线的性质得，∠CBF=30°，则∠ABC=180°-60°-30°=90°，∴BCAB=tan60°，则AB=3•BC=403≈69.3（海里）．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为69.3海里．5.（2013湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．（结果保留小数点后一位，其中3≈1.732）