-随机变量的方差和标准差

1随机变量X的数学期望，描述了随机变量X取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命E(X)=1000小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足500小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对期望E(X)的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。2一、方差的定义如果随机变量X的数学期望存在，称X-E(X)为随机变量X的离差。由于0)(E)(E)E(EXXXX，离差有正有负，为了消除离差符号的影响和数学上便于处理，用2)](E[XX来衡量X与E(X)的偏差。定义设X是随机变量，数学期望E(X)存在，并且2)](E[EXX也存在，则称之为X的方差，记作D(X)，即2)](E[E)(DXXX)(DX称为X的标准差。3从方差的定义我们可以看出，X的方差D(X)实际上是随机变量2)](E[XX的期望，因此0)(DX。当随机变量的可能取值以较大的概率集中在数学期望附近时，方差较小，否则方差较大。因此，方差的大小可以反映随机变量分布的分散程度。2)](E[E)(DXXX计算公式:2)](E[E)(DXXX22)E()(E)(E2)(EXXXX22)E()(EDXXX])E()(E2[E22XXXX22)E()(EXX41.若X是离散型随机变量，其概率分布为,}{PiipxX,2,1i则.)(E22iiipxX计算公式:22)E()(EDXXX2.若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则.d)()(E22xxfxX5设X表示机床A一天生产的产品废品数，Y表示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：X0120.5P30.30.10.1例1解Y0120.6P30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.6X0120.5P30.30.10.1Y0120.6P30.10.20.1.8.0)(E)(EYX均值相等,据此不能判断优劣,再求方差.，6.11.091.043.015.00)(E2X,8.11.092.041.016.00)(E2Y.96.08.06.1)](E[)(E)(D222XXX.16.18.08.1)](E[)(E)(D222YYY由于D(X)D(Y),因此机床A的波动较机床B的波动小,质量较稳定.7其它,010,21)(xxxf解例2设随机变量X的概率密度函数求：EX,DX.，31d21E10xxxX，51d21E1022xxxX.454)E(ED22XXX8二、方差的性质性质1D(C)=0，其中C是常数。性质2若k是常数,则性质3.)(D)(D2XkkX证2)(EE)(DkXkXkX22)](E[EXXk.)(D2Xk,)(D)(DXCX其中C是常数。2)(EE)(DCXCXCX2)](E[EXX证.)(DX9性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则)(D)(D)(DYXYX2)(EE)(DYXYXYX2)E()E(EYYXX)E)(E(2)E()E(E22YYXXYYXX)E)(E(2)E(E)E(E22YYXXEYYXX，)E)(E(E2)(D)(DYYXXYX证而)E)(E(EYYXX)(E)(E)(E)(E(EYXYXXYXY,)(E)(E)(EYXXY10，)E)(E(E2)(D)(D)(YYXXYXYXD,)(E)(E)(E)]E)(E[(EYXXYYYXX当X和Y相互独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)，所以)(D)(D)(DYXYX，niiniiXX11)(DD推广：niiiniiiXkXk121)(DD若X1,X2,…,Xn两两独立,则性质4设X和Y是两个相互独立的随机变量，则)(D)(D)(DYXYX证11)(DYX)32(DYX注意：以下两个式子是等价的,)(D)(D)(D)(E)(E)(EYXYXYXXY0)(DX的充分必要条件为,存在常数C,使.1}{PCX事实上,.)(EXC)(D)(DYX例如,当X和Y相互独立时,有性质5)(D9)(D4YX，niiniiXX11)(DDniiiniiiXkXk121)(DD若X1,X2,…,Xn两两独立,则12三、切比雪夫不等式随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。定理(切比雪夫不等式)设随机变量X具有数学期望)(EX,方差2)(DX,则对0,有22}{PX成立.13定理22}{PX成立.证设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),则xxfXEXxd)(})({Pxxfxxd)()(22.22xxfxd)()(122(切比雪夫不等式)设随机变量X具有数学期望)(EX,方差2)(DX,则对0,有1422}{PX上式可改写为221}{PX切比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时，以数学期望E(X)为中心的分散程度。不难看出，方差D(X)越小，则随机变量X的取值越集中在数学期望E(X)的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。如取，3111.09}3||{P22X15已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.设每毫升白细胞数为X，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002，例3解由切比雪夫不等式，,7001}7300{P22X得取，21002221007001}94005200{PX.9816根据过去统计资料，某产品的次品率为p=0.05，试用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数在40~60之间的概率.例4解设X表示1000件产品中的次品数，则)05.0,1000(~BX,5005.01000)(EnpX,5.4795.050)1()(DpnpX由切比雪夫不等式，}1050{}6040{PXPX2105.471.525.017该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极限定理可知，概率约为525.0}6040{PX注：.853.01)5.4710(218练习：P131习题四