实验2：线性代数实验答案

撰写人姓名：撰写时间：审查人姓名：实验全过程记录实验名称线性代数实验时间2学时地点数学实验室姓名学号同实验者学号一、实验目的1、熟练掌握矩阵的基本运算；2、熟练掌握一般线性方程组的求解；3、掌握最小二乘法的MATLAB实现，矩阵特征值、特征向量的求解以及化二次型为标准型。二、实验内容：1、利用MATLAB实现矩阵的基本运算；2、利用MATLAB求解一般线性方程组，利用最小二乘法求解超定方程组；3、利用MATLAB化二次型为标准型。三、实验用仪器设备及材料软件需求：操作系统：WindowsXP或更新的版本；实用数学软件：MATLAB7.0或更新的版本。硬件需求：PentiumIV450以上的CPU处理器、512MB以上的内存、5000MB的自由硬盘空间、CD-ROM驱动器、打印机、打印纸等。四、实验原理：线性代数理论五、实验步骤：1、计算下列行列式：⑴41241202105200117；A=[4124;1202;10520;0117];det(A)ans=0⑵100110011001abcd。symsabcd;A=[a100;-1b10;0-1c1;00-1d];det(A)ans=a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+12、设212122221A，求1098()65AAAA。A=[212;122;221];A^10-6*A^9+5*A^8ans=22-422-4-4-483、求下列矩阵的逆矩阵：⑴121342541；A=[212;122;221];A^10-6*A^9+5*A^8ans=22-422-4-4-48A=[12-1;34-2;5-41];inv(A)ans=-2.00001.0000-0.0000-6.50003.0000-0.5000-16.00007.0000-1.0000⑵100100。symsaA=[a10;0a1;00a];inv(A)ans=[1/a,-1/a^2,1/a^3][0,1/a,-1/a^2][0,0,1/a]4、给定线性方程组：Axb，0,1,23,5,70,1,8A，123b，利用\Ab或inv(A)*b求出其解。A=[0-12;357;018];b=[123];x=A\b'x=0.0667-0.20000.4000x=inv(A)*b'x=0.0667-0.20000.40005、设4,2,31,1,01,2,3A，2ABAB，求B。A=[423;110;-123];B=A/(A-2*eye(3))B=3.0000-8.0000-6.00002.0000-9.0000-6.0000-2.000012.00009.00006、把下列矩阵化为行最简形：⑴102120313043；A=[102-1;2031;304-3];rref(A)ans=100000100001⑵23137120243283423743。A=[231-3-7;120-2-4;3-283-4;2-3743];rref(A)ans=1020001-10000010000017、利用MATLAB求向量组12135，24313，33234，4411517，57670的极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。a1=[2-135];a2=[-4313];a3=[3-234];a4=[4-11517];a5=[76-70];A=[a1'a2'a3'a4'a5']A=2-4347-13-2-1631315-7534170[R,j]=rref(A)R=1.000000037.666701.000000-14.0000001.00000-43.66670001.00001.6667j=123437.6667*a1+(-14.0000)*a2+(43.6667)*a3+1.6667*a4=a58、a、b取何值时，方程组12342342341234022112321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解，无解，无穷多组解，并求有无穷多组时的一般解。symsab;A=[1111;0122;0-1a-1-2;321a];det(A)ans=a^2-1a=solve('a^2-1','a')a=1-1当a不等于正负1时，有唯一解;当a=1或-1时有无穷多解.9、某一种甲虫最多可活两年，且其年龄群体分配数的矩阵如下：0061/20001/30A如果有600只在第一年龄群体，300只在第二年龄群体，100只在第三年龄群体，则年复一年各年龄群体的甲虫数目是否会改变，从数学上给以解释。x0=[600;300;100];A=[006;1/200;01/30];x1=A*x0x1=600300100x2=A*x1x2=600300100x3=600300100x4=A*x3x4=600300100eig(A)ans=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660i1.0000x=[600;300;100];d1=1.0000;A=[006;1/200;01/30];y=A*x;y1=d1*x;k=1;whilemax(abs(y-y1))0.1x=y;y=A*x;y1=d1*x;k=k+1;end可知，当k为正整数时，x^(k+1)=x^k.所以，年复一年各年龄群体的甲虫数目不改变10、设定两个一般的4阶上三角矩阵，用MATLAB验证其乘积还是上三角矩阵，其逆矩阵还是上三角矩阵。a=[1576;0567;0046;0009];b=[1817;0774;0019;0008];a*bans=14343138035411300048400072inv(a)ans=1.0000-1.0000-0.25000.277800.2000-0.30000.0444000.2500-0.16670000.111111、求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断能否对角化，若能，则将其对角化。⑴120230302A；a=[-120;-230;302];[vd]=eig(a)v=00.30150.301500.30150.30151.0000-0.9045-0.9045d=200010001rank(v)ans=2V不满秩，不可相似对角化。⑵211020413A；a=[-211;020;-413];[vd]=eig(a)v=-0.7071-0.24250.3015000.9045-0.7071-0.97010.3015d=-100020002rank(v)ans=3V满秩，可相似对角化。⑶542452228A。a=[54-2;452;-228];[vd]=eig(a)v=-0.6667-0.64640.37120.6667-0.7398-0.0909-0.3333-0.1868-0.9241d=-0.00000009.00000009.0000rank(v)ans=3V满秩，可相似对角化。12、将下列二次型化为标准型：⑴2221231231223(,,)2344fxxxxxxxxxx；a=[1-20;-22-2;0-23];[vd]=eig(a)v=-0.6667-0.66670.3333-0.66670.3333-0.6667-0.33330.66670.6667d=-1.00000002.00000005.0000⑵1231223(,,)22fxxxxxxx。a=[010;10-1;0-10];[vd]=eig(a)v=-0.50000.7071-0.50000.7071-0.0000-0.70710.50000.70710.5000d=-1.4142000-0.00000001.4142成绩评定：指导教师：年月日