有关圆锥曲线轨迹方程的求法

曲线与方程学习如几何曲线幸福似小数循环.:椭圆:双曲线:抛物线._________________,21的点的轨迹等于的平面内与两定点FF距离之和a2常数.____________________________,21的点的轨迹等于的平面内与两定点FF距离的差的绝对值a2常数.______的点的轨迹和一条定直线的距离平面内与一定点F相等)2(21FFaaPFPF221aFF221aPFPF221)2(21FFaaFF221pdPF典例分析题型一直接法求曲线方程【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且求动点P的轨迹方程C.学后反思当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法.QPQFFPFQ分析设P点坐标为（x,y），再表示出Q点，,，，的坐标，直接代入满足的条件求P点轨迹方程.QPQFFPFQ解：设动点P(x,y)，则Q(-1,y).由，得（x+1,0）·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化简得C：QPQFFPFQ24yxQPQFFPFQ举一反三1.已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.24yx解析:设P(x,y),则(1)当x≤3时，方程变为,即.化简，得(2)当x＞3时，方程变为,即化简,得故所求的点P的轨迹方程是,0≤x≤3,,3＜x≤4.22134xyx22134xyx2211xyx22134xyx2217xyx2124yx24124xyx题型二利用定义或待定系数法求曲线方程【例2】已知圆:和圆：动圆M同时与圆及圆相外切.求动圆圆心M的轨迹方程.1C2231xy2C2239xy1C2C分析设圆半径,圆半径,动圆M半径R,则由两圆外切性得,∴(定值)＞0，故可考虑用双曲线定义求轨迹.1C1r2r2C11MCRr22MCRr2121MCMCrr解设动圆M与圆及圆分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得,∵MA=MB,∴即这表明动点M到两定点、的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到的距离大，到的距离小），其中a=1,c=3,则.设点M的坐标为（x,y）,则其轨迹方程为(x≤1).1C2C11MCACMA22MCBCMB1122MCACMCBC2121312MCMCBCAC1C2C2C1C28b2218yx学后反思解决本题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a,b时，则直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方法称为定义法.举一反三2.如图，已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切于点C，且AC-BC=.过点A、B分别作圆O′的切线，两切线相交于P，且P、O′均在AB同侧.建立适当坐标系，当O′位置变化时，求动点P的轨迹E的方程.22解析:以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC=4.根据双曲线的定义，动点P的轨迹为双曲线的右支且a=2,c=2,则所以轨迹E的方程为(x2).2222b22122xy题型三用相关点法求轨迹方程【例3】已知长为的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且求点P的轨迹方程.22APPB12分析由A、B两点分别在x轴、y轴上,且,得P点的坐标可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|=,故可求得A、B坐标满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可得到P点的轨迹方程.22APPB12解设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因为又,所以,即,因为AB=，即所以化简得,故点P的轨迹方程为…..22APPB0,APxxy0,PBxyy022xx022yyy02(1)2xx0(12)yy22200(12)xy22221(12)(12)2xy2212xy学后反思对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.举一反三3.点P是圆上的动点，O是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.22414xy解析：设,Q(x,y),则,∴,∵是圆上的动点，∴∴即00,Pxy02xx02yy02xx02yy00,xy2200414xy2224214xy221212xy题型四用参数法求轨迹方程【例4】(14分)设椭圆方程为,过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点,l上的动点P满足当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.2214yx12OPOAOB分析设出直线l的方程，和A、B两点的坐标，并将直线l方程与椭圆方程联立，求出,,由可表示出点P坐标，再用消参法求轨迹方程.12xx12yy12OPOAOB解直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1……………………………………….1′设、，由题设可得点A、B的坐标、是方程组，①的解.②将①代入②并化简,得,……………4′则…………………………………8′11,Axy22,Bxy11,xy22,xy22114ykxyx22(4)230kxkx1221222484kxxkyyk于是………10′设点P的坐标为（x,y）,则消去参数k,得(y≠0)③……………….12′当直线l的斜率不存在时，可得A、B的中点坐标为原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为…………………………………..14’12122214,,22244xxyykOPOAOBkk22444kxkyk2240xyy2240xyy学后反思本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.xftygt举一反三4.过抛物线的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.解析：由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:由得同理由得设P(x,y),则①②24yx1yxk24ykxyx244,Akk214yxkyx24,4Bkk221212xkkykk由②^2-2×①，得即故线段AB的中点P的轨迹方程为2y28x228yx228yx易错警示【例】过点P(0,-2)的直线l交抛物线于A、B两点，求以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.24yx错解如右图，设M(x,y),,,直线l的方程为y+2=kx,即y=kx-2.由消去y，得11,Axy22,Bxy224ykxyx224140kxkx错解分析直线l与抛物线交于不同的两点A、B,则l的斜率一定存在且受有两个交点的限制，故应由此确定k的取值范围，错解中忽视了k的取值范围，导致错误.∴,∴∵四边形OAMB为平行四边形,∴消去k，得∴点M的轨迹方程为12241kxxk1224xxk121244yykxxk12212414kxxxkyyyk2241yx2241yx正解设M(x,y),,，直线l的方程为y+2=kx，即y=kx-2(k≠0).由消去y,得11,Axy22,Bxy224ykxyx224140kxkx24yx∴,∴又四边形OAMB为平行四边形，∴消去k,得又l与抛物线交于不同两点A、B,∴解得且k≠0,又,∴y-8或y0.综上,M点的轨迹方程为(y-8或y0).12241kxxk1224xxk121244yykxxk12212414kxxxkyyyk2241yx22411616210kkk12k4yk2241yx想一想:今天在课堂上你学到了什么？求曲线的方程常用的几种方法（1）直接法（2）定义法(待定系数法)（3）相关点法（4）参数法作业：1.已知点Q是曲线上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.2yx2.若直线y=kx+b交抛物线于A、B两点，已知|AB|=,线段AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值.2xy453.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.考点演练1.已知点Q是曲线上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.2yx解析：设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式，得解得∵点Q在曲线上，∴∴,化简得00122xxyy00212xxyy2yx200yx2221yx2122yx2.若直线y=kx+b交抛物线于A、B两点，已知|AB|=,线段AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值.2xy45解析:由得设,,则∴.①又∴,即.②由②，得,代入①，得1212xxkxxb222212121222114ABxxyykxxkkb221480kkb21222xxkykxbkbb中中252kb22100kb2210bk4219600kk2ykxbxy11,Axy22,Bxy20xkxb∴或∴k=±2,b=-3或k=b=.经检验均符合要求.24k215k15523.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T（-1，1）在AD边所在直线上.（1）求AD边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD外接圆的方程.解析：（1）∵AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为-3.又∵点T(-1,1)在直线AD上,∴AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由x-3y-6=0,3x+y+2=0,得点A的坐标为(0,-2).∵M为矩形ABCD外接圆的圆心，且AM=，∴矩形ABCD外接圆的方程为222002222228xy