线性代数与空间解析几何及其应用课后习题1.1

11.11.图1-1表示了B省的3个城市123,,BBB与C省的3个城市123,,CCC的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以(,1,2,3)ijaij表示从iB到jC的运路数，试写出矩阵()ijaA.图1-1解：111213212223313233042213430aaaAaaaaaa.2.当22812xyuuzx时，,,,xyzu各取何值？解由2,2,1,82xuyuzx可得，4,1,1,2xyzu..3.写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的n阶矩阵的一般形式.解1122000000nnaaAa4.下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）321400010000;（2）321401560245;（3）321401060010;（4）321400000010.解(1),(3)是，(2),(4)不是.5.下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？1021102011101101(1)0101;(2)0100;(3)0000;(4)0011.00100001000100002解(1),(3)不是，(2),(4)是.6.写出线性方程组12nxxxb的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？解系数矩阵A111000000nn，增广矩阵(1)11100000000nnbA.增广矩阵n行，1n列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.21.已知A131023,B202111,C122113.求：2CA;ABC;32ABC.解1723243CA;251241ABC;913211136ABC.2.已知两个线性变换112321233123xyyyxyyyxyyy及1123212332323245yzzzyzzzyzz，把它们分别表示为矩阵形式，并求从123,,zzz到123,,xxx的线性变换.解111122223333111123111;124;111051xyyzxyyzxyyz111222333111123058111124056111051290xzzxzzxzz,即12322331258,56,29.xzzxzzxzz3.已知矩阵1321A，3012B，381204C.求：ABBA；BC；3CB；22AB；TCA.解3303ABBA；9243789BC；CB无意义；22160511AB；7782491TCA.4.设310121342A，102111211B，且矩阵X满足方程32AXB，求X.解341251127115222X.5.设101A，求2A,3A,nA(n为正整数).解21021A,31031A,101nnA.6.某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，2000年和2001年的年产量如表1-1表1-1表2-2型号产量甲乙丙2000年7050602001年806070这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总成本和总销售额.解设67705060,7880607089AB,则6770506012501430788060701460167089CAB.即2000年的总成本是1250，销售总额是1430；2001年的总成本是1460，销售总额价格型号单位成本价销售价甲67乙78丙894是1670.7.已知1,2,3Tα，11(1,,)23Tβ，设TAαβ，求nA.解1()()()()()()()TnTTTTTTTTnnAαβAαβαβαβαβαβαβαβαβ－个个＝，而111(1,,)23233Tβα)，所以111333nnTnTnAαβαβA.8.1143011A，求23456()()AEEAAAAAA.解原式=1043012，2114114103011301101AE,34567,,,,AAAEAAAEAA，原式=71043012AEAE9.设A为m阶对称矩阵，B为mn矩阵，证明：TBAB为n阶对称矩阵.证()()TTTTTTBABABBBABBAB，即TBAB为对称矩阵.10.设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明ΑΒ为反对称矩阵的充分必要条件是ΑΒΒΑ.证充分性,TTAAΒB,又ΑΒΒΑ，所以()TTTΑΒΒΑΒΑΑΒ，即ΑΒ为反对称矩阵.必要性由()TABAB，又TTTABBABA（），所以ΑΒΒΑ.习题1.31.用分块矩阵计算下列矩阵乘积：(1)321021201102240110104003;(2)11001000310010000100013100210214.5解(1)设111221223210201124011040AAAAA，112121021003BBB，则1112111111122121222121112221AABABABABAABABAB，而1111322167200242AB，1221101010110313AB.则111112217735ABAB.同理211122214921ABAB，故原式77354921AB.(2)11112122212211001000310010000100013100210214ABAABB0011112111222122220ABABABAB2000400010000056.2.设34004300,00240002A求2kA.解设123424,4302AA，则2134342504343025A，24221112250025AAA，，由数学归纳法可得21250025kkkA,同理可得1224404kkkkkA.于是，有22121225000002500000440004kkkkkkkkkAAA.3.设A为mn实矩阵，若,TAA0则=A0.6证将A按列分块：12=(,,,)nAβββ，则12TTTTnββAβ，于是1111212212221212(,,,)TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnββββββββββββββAAββββββββββ，由,TAA0得0(1,2,,)Tiiinββ,又因A为实矩阵，故(1,2,,)0iinβ，故=A0.4.设120000=00naaaA，其中当ij时ijaa(,1,2,,)ijn.证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.证设1111nnnnbbbbB与A可交换，即1111111111000000000000nnnnnnnnnnabbbbaabbbba，即11111211111212122122222121222212211222nnnnnnnnnnnnnnnnabababababababababababababababababab，由于1,,naa互异，比较非对角元素得iijjijabab即0ijijaab(-)，于是0()ijbij,故与A可交换的矩阵1122000000000000nnbbbB为对角阵.5.当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵1,,kxx，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设12,,,kkXxxx,矩阵TkkkGXX需要在雷达分析数据时计算出来，当1kx到达时，7新的1kG必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从kG计算1kG的矩阵形式.解由于12,,,kkXxxx,所以11,kkkXXx,又TkkkGXX,因此1111111,TTTTkkkkkkkkkkTkXGXXXxXXxxx.习题1.41.设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列变换得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，以满足AQC的可逆矩阵Q为().010010010011()100;()101;()100;()100101001011001ABCD.分析C是对A实行两次初等列变换得到的，因此C可由A与初等矩阵的乘积表示.解AB初等列变换，即为010100001BA，BC初等列变换，即为100011001CB，所以010100011100011100001001001CAA.因此应选D.2.把下列矩阵化为行最简形矩阵：10210231(1)2031;(2)0343;3043047111343231373354112024(3);(4)22320328303342123743.8解10050105(1)0013;(2)0013;0000000011