应用z变换求解差分方程

序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：•时域方法——第七章中介绍，烦琐•z变换方法•差分方程经z变换→代数方程；•可以将时域卷积→频域（z域）乘积；•部分分式分解后将求解过程变为查表；•求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。一．应用z变换求解差分方程步骤(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）(2)由z变换方程求出响应Y(z)(3)求Y(z)的反变换，得到y(n)一．步骤二．差分方程响应y(n)的起始点确定2212zzzzY全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前观察Y(z)分子分母的幂次分母高于分子的次数是响应的起点三．差分方程解的验证解答是正确的两种迭代结果相同解的表达式迭代出原方程迭代出,2,1,02,1,0yyyyyy例8-7-1(原教材例7-10(2))求系统的完全响应。若边界条件达式为已知系统的差分方程表,1)1()(05.0)1(9.0)(ynunyny105.019.01zzyzYzzY9.019.09.0105.02zzyzzzzY解：方程两端取z变换9.0121zzAzzAzzY9.0121zzAzzAzzY45.05.021AA9.045.015.0zzzzzzY09.045.05.0nnyn例8-7-2解：已知系统框图列出系统的差分方程.求系统的响应y(n)1)列差分方程，从加法器入手nynynynxnx2213112213nxnxnynynyE1nxE1E123ny,010,0002yynnnxn452,211yy21213121yyzzYzyzYzzY01221xzzzzz3)差分方程两端取z变换，利用右移位性质2)由方程迭代出用变换求解需要用0,1,2,1yyyyza.由激励引起的零状态响应2123121zzzzzYzs222zzzYzs零状态响应为nunnyzYnzszs21即b.由储能引起的零输入响应都成立）（对2n221312231121yyyzzzzYZi1223121zzzzzzzzzYzi01223nnyzYnnzizi即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意由方程解y(n)表达式可以得出y(0)=0,y(1)=0，和已知条件一致。2,)()(2aazaznunan1122211nnnynn21242222nunnynn或验证