高中物理竞赛培训--电磁学部分

中学物理基础知识回顾与拓展（电磁学基础知识部分）习题选讲基本概念和知识点一些相关的题外话物理理论基于实验和假设建立起来的用于阐明特定物理概念之间相互关系的数学方程(定律,laws）及其引申结果(定理,theorems).好的理论所需的假设少且普遍,前后没有矛盾,并能在一定范围正确解释和预言实验结果。基本概念和知识点物理理论理论的关键是前后一致、自成一体；理论相对于实际应用有一定的独立性；应严格区分理论问题和应用问题。(例：点电荷，理想气体，平行板电容器，磁场中导体棒的滑动……)基本物理理论是定量的，精确的；每个理论都有其适用范围；每个公式都有其适用范围；电磁相互作用存在的范围：从微观到宏观的一切尺度电磁学的适用范围：通常为经典宏观系统，不包含量子力学及相对论效应微元：宏观小微观大电荷、电流分布在微元上可看成是均匀的dldQdSdV线电荷分布面电荷分布体电荷分布dQdVdV体分布dSdQdS面分布dldQdl线分布一个长1米、宽1厘米、厚1毫米的电介质细带上均匀带有1库仑的电荷。问其体电荷密度是多少？如果忽略其厚度，则面电荷密度是多少？如果进一步忽略其宽度，其线电荷密度是多少？例：矢量：，，矢量的分量：FFxxyyzzFFeFeFe,,;xyzFFF有正负之分，且正负有明确的意义依赖于坐标系的选取矢量的模(强度、大小)：222xyzFFFF只能取非负值不依赖于坐标系的选取注意矢量的分量和矢量的模的区别几个重要的近似等式：2sintan||1cos12若；1+1+||1.（）若电量及其量子化基本(元)电荷：181C6.2410e一个物体的电荷只能是基本电荷的整数倍：qne-e:+e:0e:电子，子，子中子，中微子，光子质子，正电子等-e:电子，子，子191.610Ce;电荷守恒定律在一个孤立的带电系统中，无论发生什么变化，系统所具有的正负电荷电量的代数和保持不变。电荷的相对论不变性在不同参照系中观察，同一带电体的电量不变。（与质量、时间等不同）点电荷点电荷是电磁学中最基本的一个理论概念，它不仅不是近似，恰恰相反，只有借助它，才可建立精确的电磁学理论。在应用问题中，在适当的情况下，可将带电体近似为点电荷。问题：自然界有没有点电荷？有没有静止的点电荷？例：点电荷在电磁场中受到的力(,)(,)(,);FrtqErtqvBrt带电量为、运动速度为的点电荷任意时刻在电v其中称为洛仑兹(磁)力。q磁场中受到的电磁力为：t()()qvtBt注意：此处的电场即包含电荷产生的电场，也包含感生电场，是二者之和。电场源电荷和随时间变化的磁场能够产生电场，除此外不存在任何其它的电场源。磁场源运动的电荷和随时间变化的电场能够产生磁场，除此外不存在任何其它的磁场源。库仑定律1q2q1212212qqFkr遵守牛顿第三定律：1221||||FF1212220,4qqqqFkrr122208.8510C/(Nm)9229.010Nm/C,k01:4k库仑定律两电荷必须静止----理论与空间中是否存在电介质、导体等无关！(低速运动时可用库仑定律估算两电荷间的作用力)静电力的叠加原理331104NNiiiiiiqqqFkqrrrr真空中两静止点电荷相距，所带电量分别为和，1qr2q如果两点电荷之间放一物体，那么这两个点电荷之间的库仑作用力的大小与相比较结果如何？其中F12F1212201||.4qqFrA.12;FFB.12;FFC.12;FF1q2q例：D.取决于所放物体静电场：由静止电荷产生的电场注意静电场与运动电荷产生的电场的区别注意静电场与感生电场的区别注意在有些问题中，可将低速运动的电荷产生的电场近似为静电场静止的点电荷产生的电场：2204qqEkrr注意：与空间中是否存在电介质、导体等无关静电场的叠加原理3311014NNiiiiiiiqqEkrrrr注意：以上两条给出了静电场的全部性质!如果已知多个静止点电荷之间的相互作用力满足叠加原理，且两个静止点电荷之间的相互作用力只和它们的电量、以及它们的位置、有关，记为。证明，其中是一个待定矢量函数。进一步地，利用已学物理原理,证明,其中，是一个待定函数。1q21rrr2q例：1212(,,,)fqqrr1r2r12121212(,,,)(,)fqqrrqqgrr12(,)grr12(,)()grrhrr()hr万有引力是否满足叠加原理？例：例：一个导体球外距离球心为的地方有一个静止的点电荷，带电量为。该点电荷在导体球心处产生的电场强度是多少？qrq例：均匀电介质球的介电常数为，半径为。在球心处置一电量为的自由电荷。问极化电荷是如何分布于电介质球的？求在空间各处由自由电荷、极化电荷分别产生的电场的场强和电势，以及由所有电荷产生的总场强和总电势。Rqq电场线的性质：静电场的电场线只能起于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远静电场的电场线不闭合电场线，无论是否属于静电场，都不相交静电场的电场线在没有电荷之处光滑连续（答案：;球冠的面积：）例：两个点电荷之间的一条电场线在两个点电荷附近和它们之间的连线所夹的角分别为和，则这两个点电荷的电量必须满足什么关系？2212sinsin22qq22(1cos)r例：证明均匀带电的球壳内部的电场强度为零。例：亦可证球壳外部距离球心为的某点处的场强为，其中为球壳上的总电量，为一常数。2QErrQ例：证明无穷大带电平面外一点处的场强与该点到带电平面的距离无关。例：证明均匀带电的半球壳其开口大圆上各点处的电场强度同向。例：证明无穷长均匀带电直线在距离其为处产生的场强与一个半径为的电荷线密度相同的半圆在圆心处产生的场强大小相等。dd例：已知球面上的电荷分布为，其中是一常数，球内部的场强是怎样的？（答：匀强场，）0cos0003E静电场的电势、电势能只有静电场才可以定义电势、电势能；感生电场不能定义电势及电势能。静电场是保守场，感生电场不是保守场。静电场中，一个点电荷从给定点出发、沿任一闭合回路运动重新回到出发点，在这个过程中静电力做的总功为零。点电荷电场的电势：04qqVkrr注意：上式与空间中是否存在电介质、导体等无关电势的叠加原理11014NNiiiiiiqqVkrr注意：上式已选无穷远处电势为零（标量）注意：以上两条等价地给出了静电场的全部性质静电场的电势和场强的关系0()()limllVllVlElVE注意：静电场是简单的，因为原则上等价于一个标量场。这是为什么静电场的电场线不能任意画的原因。例：两个正电子和两个质子分置在一个正方形的四个顶点上。让这四个粒子从静止状态开始自由运动，问长时间后，其中的一个正电子和一个质子的动能分别为多少？例：一个半径为的薄球壳上带有总电量为的电荷（可能不是均匀分布的）；求球心处的电势。QR例：导体球壳半径为，不接地，其上所带总电量为零。在距球心为的地方置一点电荷，电量为。求导体球壳的电势。已知。qddRqRRd面电荷密度为的无穷大带电平面的静电场00(0)20(0)(0)2xExxxEO（问题：电势？）均匀分布于半径为的球面上的电荷的静电场q20200()()8()4rRqErRrqrRrRrERO00()4()4qrRrVqrRRrVRO为的与垂直的截面面积。电通量为穿过的电场线的条数。电通量有正负之分。静电场的高斯定理(闭合曲面每一点的法向方向指向闭合曲面外。）01.SEdSq包静电场中通过任一闭合曲面的电通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍，即电通量：电场通过面积时的电通量为；其中SESSESS静电场的高斯定理（a）设点电荷在球形高斯面的圆心处；因为220044.ESqRRqdSEq(a)R+１、每个小面元处的电场强度大小都相同；２、每个小面元所在平面与电场强度垂直；所以总的电通量（由里至外）面的电通量，因此总的电通量静电场的高斯定理（b）设点电荷在任意闭合曲面之内；因为穿过闭合球面的电通量等于穿过该闭合+S++Sq(b)S'S'220044.SSqRRq静电场的高斯定理（c）设点电荷闭合曲面以外，则总的电通量必为零。0+qS(c)01.SEdSq包综合(a)、(b)、(c)，即有例：如图，一均匀带电无限大平面，单位面积带电量解：由对称性分析可知如图高斯面的电通量为0.2E02,SES2,ES,qS包-EES为，求周围的电场强度。静电场的高斯定理而即所以静电场的高斯定理例：一均匀带电球面，半径为R，带电量为q。求球面Rr解：（1）球外某点的场强内、外各点处的场强。设该点距离圆心为r,rR;由于对称性，在其所处球面上的每一点处的场强大小都相等(设为E),方向垂直球面。故电通量24.rE静电场的高斯定理Rr20.4qEr204,qrE所以又，根据高斯定理有0,q从而(与圆心处置放点电荷产生的场强一样)q静电场的高斯定理Rr（2）球内某点的场强24,rE0.E00,q包同理，对球内某点，仍有但根据高斯定理，所以静电场的高斯定理R（3）球上某点的场强１、球上某点挖去一个小面元，不影响该处电场；２、球内(外)靠近该点处的电场，为该小面元的电场与剩余球面电场之和；由上述考虑可知球面上某点的场强为20.8qER静电场的高斯定理例：一均匀带电球面，半径为R，带电量为q。求球面解：内、外各点处的场强。R20200()()8()4rRqErRrqrRr综上，rERO例：一均匀带电球面，半径为R，带电量为q。求球面上的静电表面张力系数。R导体：（理论概念）导体特征：导体内部存在大量的可自由运动的电子，这些自由电子在常温下局限在导体内部。导体因此可看成是充满了自由电子气的容器。估算:一块立方体铁块，如将某一面表层中每一个原子的一个外层电子转移到相对面表层，那么产生的场强有多强？解:设铁块两厘米见方，有约个原子；则表层有约电子被转移；所以771591091081023C/m,产生的场强约为110/310N/C(V/m).E23710导体：（理论概念）导体特征：导体内部存在大量的可自由运动的电子，这些自由电子在常温下局限在导体内部。导体因此可看成是充满了自由电子气的容器。静电平衡：处在静电场中的导体或孤立导体，若其宏观电荷分布不再随时间发生变化，也没有电流，则称该导体达到了静电平衡。静电场中达到静电平衡的导体由导体特征可知，达到静电平衡时1、导体内部的场强处处为零2、导体外靠近表面处的场强方向与导体表面垂直c）导体内无净余电荷；净余电荷只分布在导体表面由此可推论d)靠近导体外表面处的总电场强度与该处导体表面的面电荷密度之间的关系是E外/E外０＝b）导体表面是一个等势面；a）导体是一个等势体；静电场中达到静电平衡的导体由导体特征可知，达到静电平衡时1、导体内部的场强处处为零2、导体外靠近表面处的场强方向与导体表面垂直c）导体内无净余电荷；净余电荷只分布在导体表面d)靠近导体外表面处的总电场强度与该处导体表面的面电荷密度之间的关系是E外/E外０＝以上这些性质与导体是否接地无关b）导体表面是一个等势面；a）导体是一个等势体；例：距接地导体球壳的球心为的地方有一点电荷，带电量为。求导体球壳上的感应电荷总量。已知。qdRddRq静电场解的唯一性定理设静电场中有一区域R，其边界为S，且R内不包含导体。如在边界S上给出以下两个边界条件之一，即(1)电势V在边界S上每一点的值，或者，(2)电势V在边界S上每一点的法向导数，则该区域内的场强被唯