最新-湖北省黄冈中学2018年春季期末考试数学(理)(附答案)-精品

湖北省黄冈中学2005年春季期末考试高二数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的代号填在第三大题前面的表中相应位置上．1．0sin2limtanxxx的值是（）A．0B．1C．2D．42．222AlimAnnnnn的值是（）A．0B．2C．12D．143．当z=–1i2时，z100+z50+1的值等于（）A．1B．–1C．iD．–i4．函数y=xsinx+cosx的一个单调递增区间是（）A．(–2，0)B．(0，2)C．(2，)D．(，32)5．无穷等比数列{an}的首项为a1=3，前n项和为Sn，且8S6=7S3，则limnnS等于（）A．2B．–2C．6D．–66．已知cossinlimcossinnnnnn=–1(0≤≤2)，则的取值范围是（）A．4B．0≤4C．4≤2D．4≤≤27．0e1limxxx的值是（）A．0B．1C．eD．1e8．数列{an}中，a1=13，2an+an+1=173n，则12lim()nnaaa的值是（）A．23B．12C．2318D．729．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图中的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大．当3，4固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（）A．6B．12C．18D．2410．已知函数f(x)是R上的可导函数，下列命题：(1)若f(x)是奇函数，则f′(x)是偶函数；(2)若f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数；(3)若f(x)是周期函数，则f′(x)也是周期函数．其中正确的命题的个数是（）A．0B．1C．2D．311．过点P(1，1)作y=x3的两条切线l1、l2，设l1、l2的夹角为，则tan等于（）34A．33B．913C．1513D．9512．函数f(x)=alnx+bx2+6x在x=1和x=2处有极值，则函数f(x)在区间[13，3]上最小值是（）A．f(13)B．f(1)C．f(2)D．f(3)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在第三大题前面的表中相应位置上．13．在复平面内，把复数3–i对应的向量按顺时针方向旋转6，所得向量对应的复数是14．已知函数f(x)=11(0),(0).xxxxax是R上的连续函数，则实数a的值是15．已知222lim2xxaxbxx=2，则a+b的值是16．已知an是fn(x)=(1+x)n+1的展开式中含xn的项的系数，Sn为数列{an}的前n项和，则12111lim()nnSSS的值是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知O是坐标原点，向量1OZ，2OZ分别对应复数z1，z2，且z1=36a+(19–a2)i，z2=21a+(2a–5)i（其中a∈R），若1z+z2可以与实数比较大小，试求向量1OZ，2OZ的数量积．题号123456789101112答案题号13141516答案18．（本小题满分12分）一个电视节目要求参加者回答A、B两个问题，若没正确回答任何一个问题则赠送价值20元的纪念品；若正确回答一个问题则赠送价值100元的礼品；若两个问题都正确回答则赠送价值400元的礼品．某观众应邀参加这个节目，已知该观众正确回答A问题的概率是0.75，正确回答B问题的概率是0.2．（1）求该观众正确回答的问题的个数ξ的分布列；（2）求该观众参加这个节目获得物品的价值η的数学期望．19．（本小题满分12分）设函数f(x)=–13x3+2ax2–3a2x+b，其中0a1，b∈R．（1）求函数f(x)的的单调区间和极值；（2）若当x∈[a+1，a+2]时，恒有f′(x)≥–a，试确定a的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=3x，过曲线y=f(x)上一点P(x0，f(x0))作曲线的切线l分别交x、y轴于M、N两点，O为坐标原点．（1）求x0=1时，切线l的的方程；（2）求SΔMON的最小值及此时点P的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(2–x)+ax在区间(0，1]上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）若数列{an}满足a1∈(0，1)，an+1=ln(2–an)+an(n∈N*)，证明：0anan+11．22．（本小题满分14分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(0,+)上是增函数，在[–1,0]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α，–1，β．（1）求c的值；（2）求证：f(0)≤–12；（3）求|α–β|的取值范围．黄冈中学高二下学期数学（理科）期末试卷（答案）17．解：∵1z+z2=36a–(19–a2)i+21a+(2a–5)i=(36a+21a)+(a2+2a–24)i∈R，∴a2+2a–24=0，解得a=4或a=–6（舍去）．∴z1=310+3i，z2=–23+3i，∴向量1OZ，2OZ的数量积为(310，3)·(–23，3)=445．18．解：（1）∵P(ξ=0)=(1–0.75)×(1–0.2)=0.2,P(ξ=1)=0.75×(1–0.2)+(1–0.75)×0.2=0.65,P(ξ=2)=0.75×0.2=0.15,∴该观众正确回答的问题的个数ξ的分布列为：ξ012P0.20.650.15(2)Eη=0.2×20+0.65×100+0.15×400=129．19．解：（1）∵f′(x)=–x2+4ax–3a2=–(x–3a)(x–a),∴当xa时，f′(x)0；当ax3a时，f′(x)0；当x3a时，f′(x)0,∴(–,a)和(3a,+)是f(x)的的单调递减区间，(a,3a)是f(x)的的单调递增区间．题号123456789101112答案CDDBACBBADBD题号13141516答案1–3i0–6119当x=a时，f(x)有极小值f(a)=–13a3+2a3–3a3+b=–43a3+b；当x=3a时，f(x)有极大值f(3a)=–13(3a)3+2a(3a)2–3a2(3a)+b=b．（2）∵f′(x)=–x2+4ax–3a2=–(x–2a)2+a2,其图象对称轴是直线x=2a,而2aa+1a+2,∴在区间[a+1，a+2]上，单调递减，从而f′(x)≥f′(a+2)，即f′(x)≥4a–4．又∵f′(x)≥–a恒成立，∴01,44.aaa解得45≤a1．20．解：（1）∵f′(x)=123xf′(1)=14,f(1)=2,∴切线l的的方程是y–2=14(x–1)，即x–4y+7=0(2)∵切线l的方程是y–03x=0123x(x–x0),∴点M、N的坐标分别是M(–x0–6,0),N(0,00623xx),∴SΔMON=12|–(x0+6)•00623xx|=200(6)43xx,其中x0–3.从而SΔMON对x0的导数S′ΔMON=20000012(6)3(6)234(3)xxxxx=2000004(6)(3)(6)8(3)3xxxxx=00003(6)(2)8(3)3xxxx,∴当–3x0–2时，S′ΔMON0；当x0=–2时，S′ΔMON=0；当x0–2时，S′ΔMON0．故当x0=–2时，SΔMON有最小值2(26)423=4．此时点P的坐标为(–2,1)．21．解：（1）∵f′(x)=12x+a，∴12x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立，即a≥–12x在x∈(0,1)上恒成立．又∵x∈(0,1)时，–12x∈(12,1),∴a≥1.(2)由（1）知，g(x)=ln(2–x)+x是(0，1]上的增函数．∴当0x1时，g(x)g(1)=1.下面用数学归纳法证明题中结论成立：当n=1时，一方面a2=g(a1)g(1)=1；另一方面，a1∈(0，1)2–a1∈(1,2)ln(2–a1)0a2a1,所以0a1a21.假设当n=k时不等式成立，即0akak+11，则由0ak+11，同上法可证0ak+1ak+21.综上所述，0anan+11对任何正整数n都成立．22．解：（1）f′(x)=3x2+2bx+c.由题意知函数f(x)在x=0处有极小值，所以c=f′(0)=0.（2）∵f(x)在(0,+)上是增函数，在[–1,0]上是减函数，∴f′(x)=3x2+2bx≥0在(0,+)上恒成立，f′(x)=3x2+2bx≤0在(–1,0)上恒成立,即b≥–32x在(0,+)上恒成立,在(–1,0)上也恒成立，∴b≥32．又∵f(–1)=–1+b–c+d=b+d–1=0d=1–b,∴f(0)=d=1–b≤–12．（3）∵f(x)=x3+bx2+1–b=(x+1)[x2+(b–1)x+1–b]，∴α，β是x2+(b–1)x+1–b=0的两根，∴|α–β|=2(1)4(1)bb=2(1)4b．注意到b≥32，所以|α–β|≥32．22．已知x1,x2是函数f(x)=3ax3+2bx2–a2x(a0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．(1)证明：0a≤1；(2)求b的取值范围；(3)若函数g(x)=f′(x)–2a(x–x1),证明：当x1x2且x10时，0g(x)≤4a．解：（1）∵f′(x)=ax2+bx–a2x1,x2是方程ax2+bx–a2=0的两根．∴x1x2=–a0x1,x2异号|x1|+|x2|=|x1–x2|=2,即234baa=2，∴b2=4a2(1–a)≥0,由a0解上式得0a≤1．（2）令h(a)=4a2(1–a)=4a2–4a3,则h′(a)=8a–12a2=4a(2–3a),∴当0a23时，h′(a)0；当23a1时h′(a)0,即函数在区间(0，23)上单调递增，在区间(23，1)上单调递减，又h(0)=0，h(23)=1627，h(1)=0，∴当0a≤1时0≤h(a)≤1627,∴0≤b2≤1627∴–439≤b≤439．（3）由x10知，x20|x1|+|x2|=x2–x1=2x2=x1+20–2x10,∴g(x)=a(x–x1)(x–x2)–2a(x–x1)=a(x–x1)(x–x2–2)=a(x–x1)(x–x1–4)=a(x–x1–2)2–4a.∴当x1x2时,–2x–x1–2–x120≤(x–x1–2)24,∴0g(x)≤4a．精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有精品推荐强力推荐值得拥有