高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章-1.1-1.1.1-1.1.2-导数的概念-含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数()A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率C．在x1处的变化量D．在区间[x0，x1]上的导数解析：根据平均变化率的概念知，选A.答案：A2．函数f(x)在x0处可导，则limh→0fx0＋h－fx0h()A．与x0，h都有关B．仅与x0有关，而与h无关C．仅与h有关，而与x0无关D．与x0，h均无关解析：由导数的概念可知，limh→0fx0＋h－fx0h＝f′(x0)，仅与x0有关，与h无关．故选B.答案：B3．已知函数y＝f(x)＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则limΔx→0ΔyΔx等于()A．2B．2xC．2＋ΔxD．2＋Δx2解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy)，∴2＋Δy＝f(1＋Δx)＝(1＋Δx)2＋1＝2＋2Δx＋(Δx)2.∴Δy＝(Δx)2＋2Δx.∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.故选A.答案：A4．若f′(x0)＝－3，则limh→0fx0＋h－fx0－hh＝()A．－3B．－6C．－9D．－12解析：由题意可得：limh→0fx0＋h－fx0－hh＝limh→0fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－hh＝limh→0fx0＋h－fx0h＋limh→0fx0－h－fx0－h＝f′(x0)＋f′(x0)＝2f′(x0)＝－6.答案：B5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线解析：当f(x)＝b时，f′(x)＝0，所以f(x)的图象为一条直线，故应选D.答案：D6．已知一次函数y＝kx＋b，则其在区间[m，n]上的平均变化率为________．解析：ΔyΔx＝fn－fmn－m＝kn＋b－km－bn－m＝k，∴函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为k.答案：k7．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：ΔsΔt＝7t＋Δt2＋8－7t2＋8Δt＝7Δt＋14t，当limΔt→0(7Δt＋14t)＝1时，t＝114.答案：1148．若f′(x0)＝－3，则limh→0fx0＋h－fx0－3hh＝________.解析：∵f′(x0)＝limh→0fx0＋h－fx0h＝－3.∴limh→0fx0＋h－fx0－3hh＝limh→0fx0＋h－fx0＋fx0－fx0－3hh＝limh→0fx0＋h－fx0h＋3·fx0－3h－fx0－3h＝limh→0fx0＋h－fx0h＋3·limh→0fx0－3h－fx0－3h＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：－129．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．解析：∵Δy＝3(1＋Δx)2－3×12＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴y′|x＝1＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.10．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，求a的值．解析：因为Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝a(x＋Δx)3＋3(x＋Δx)2＋2－(ax3＋3x2＋2)＝3ax2Δx＋3ax(Δx)2＋a(Δx)3＋6xΔx＋3(Δx)2，所以ΔyΔx＝3ax2＋3axΔx＋a(Δx)2＋6x＋3Δx，所以Δx→0时，ΔyΔx→3ax2＋6x，即f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝103.[B组能力提升]1．已知点P(2,8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为()A．2B．4C．6D．8解析：Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，ΔyΔx＝8Δx＋2Δx2Δx＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于常数8.答案：D2．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是()A．k1k2B．k1k2C．k1＝k2D．无法确定解析：因为k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝2x0－Δx，又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．答案：D3．若正方体的棱长从x＝1到x＝a时正方体的体积膨胀率为21，则a的值为________．解析：Δv＝a3－1，∴ΔvΔx＝a3－1a－1＝a2＋a＋1＝21，∴a2＋a－20＝0，∴a＝4或a＝－5(舍去)．答案：44．已知f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0，f(3)＝2，f′(3)＝－2，则limx→32x－3fxx－3的值是________．解析：limx→32x－3fxx－3＝limx→32x－3fx＋3f3－3f3x－3＝limx→32x－3f3x－3＋limx→33f3－fxx－3由于f(3)＝2，上式可化为limx→32x－3x－3－3limx→3fx－f3x－3＝2－3×(－2)＝8.答案：85．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T′(5)，并说明它的实际意义．解析：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝1200＋5＋15＝39，T(10)＝12010＋5＋15＝23，从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温下降了16℃.(2)平均变化率ΔTΔt＝T10－T010＝－1610＝－1.6(℃)．它表示从t＝0到t＝10min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃.(3)T′(5)＝limΔt→01205＋Δt＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示T＝5min时蜥蜴体温下降的速度为1.2℃/min.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解析：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝ΔyΔx＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝ΔyΔx＝15－1070－50＝14，∵hBC＞hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭．