高次伴随矩阵及其特征根求法公式新证

第37卷第11期高师理科学刊Vol.37No.112017年11月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityNov.2017文章编号：1007-9831（2017）11-0004-03高次伴随矩阵及其特征根求法公式新证唐军强（焦作大学基础部，河南焦作454000）摘要：根据高次伴随矩阵的性质给出了高次伴随矩阵及其特征根求法公式的一种新的证明方法．关键词：伴随矩阵；高次伴随矩阵；逆矩阵；行列式；特征根中图分类号：O151.21文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2017.11.002AnewproofoftheformulasofhighdegreeadjointmatrixanditscharacteristicrootTANGJun-qiang（DepartmentofBasicCourses，JiaozuoCollege，Jiaozuo454000，China）Abstract：Givesanewproofoftheformulasofhighdegreeadjointmatrixanditscharacteristicrootaccordingtothenatureofthehighdegreeadjointmatrix.Keywords：adjointmatrix；highdegreeadjointmatrix；invertiblematrix；determinant；characteristicroot1引言及基础知识关于高次伴随矩阵及其特征根的求法公式，早已有之[1-11]，证明多采用数学归纳法．本文根据高次伴随作为矩阵的一种运算所具有的性质给出一种新的证明方法，以期丰富和完善这方面的理论．设A为n阶方阵，A的伴随矩阵定义为*A，对*A再求伴随矩阵，得到**A．以此类推，可以得到A的高次伴随矩阵，记A的k次伴随矩阵为*kA．根据行列式的性质有**==AAAAAE（1）对式（1）两边取行列式，得到n**==AAAAA，当0¹A时，则有1n-*=AA（2）且有1*-=AAA（3）2高次伴随矩阵的求法公式当0=A时，根据伴随矩阵的定义可知，()1()10()1RnRRn*=-ì=í-îAAA，这里()RA代表矩阵A的秩．由此可知，对于减秩矩阵有*0,2,kkk+=³ÎAN．性质1(1)*knk-=AA．收稿日期：2017-06-04作者简介：唐军强（1980-），男，河南开封人，讲师，硕士，从事应用泛函分析研究．E-mail：[e-mail]第11期唐军强：高次伴随矩阵及其特征根求法公式新证5证明当1k=时，由式（2）可知，结论成立．假设当km=时，结论成立，即有(1)*mnm-=AA（4）由式（1）可知，*(1)**mmm+=AAAE，两边取行列式，并将式（4）代入，得到1(1)(1)*mnm+-+=AA．从而，(1)*knk-=AA对于任意的k+ÎN均成立．证毕．性质2若0¹A，则*0k¹A（即若A可逆，则对于任意的k+ÎN，*kA均可逆）．证明由性质1易知结论成立．证毕．性质3()*(1)*kknkcc-=AA，这里c代表任意非零常数．证明当1k=时，根据*A的定义，结论显然成立．假设当km=时，结论成立，即()*(1)*mmnmcc-=AA（5）则由式（1）可知，()()()*(1)**mmmccc+=AAAE，将式（5）代入，得到()(1)*(1)*(1)*mmmnmnmccAc+--==AAE(1)*mnnmc-AE．从而结合性质2和式（3）可知，()()111(1)*(1)**(1)(1)*mmmnmmnmccc++-+--+==AAAA．证毕．引理1若1=A，k+ÎN，则*(1)kk-=AA．证明若1=A，由性质1可知，*1k=A．且由式（1）可知，**==AAAAE，即1*-=AA．再由****==AAAEE可知，()()111--***-===AAAA．以此递推可知，引理1结论成立．证毕．定理1若0¹A，k+ÎN，则A的k次伴随矩阵1(1)(1)*(1)kkknkn+-+--=AAA．证明对于任意的n阶可逆方阵A，令1n-=BAA，则1=B，对矩阵B应用引理1的结论，则有(1)kk*-=BB，即(1)11kknn*---æöæö=ç÷ç÷èøèøAAAA，再利用性质3的结论，则有1(1)(1)(1)kkknkn+-+-*-=AAA．证毕．推论当2n=时，1*21,2,kkmmkmm-++ì=-Îï=í=ÎïîAAAANN．3可逆矩阵高次伴随矩阵的特征根的求法公式引理2设n阶方阵A，B均可逆，且有c=BA，这里c为任意非零常数．12,,,nlllL为A的n个特征根，则(1,2,,)icinl=L为B的n个特征根．证明设12,,,nmmmL为B的n个特征根，则有0,niininnccicmmm-=-=-==EBEAEA1,2,,nL，由于0c¹，则icm必然为A的特征根，从而iicml=．证毕．引理3设1=A，k+ÎN，A的n个特征根为12,,,nlllL，*kA的n个特征根为12,,,nmmmL，则有(1),1,2,,kiiinml-==L．证明由引理1可知，结论显然成立．证毕．定理2若0¹A，k+ÎN，A的n个特征根为12,,,nlllL，k*A的n个特征根为12,,,nmmmL，则()11(1)(1)(1)(1)(1)(1)12,1,2,,kkkkkknnnniiniinmlllll++-+--+---===LLA．（下转第9页）第11期王福昌，等：食饵-捕食者模型参数拟合方法94结束语本文给出了一类２种群食饵-捕食者模型的非线性微分方程组参数估计方法，并给出相应的MATLAB源程序，使用者稍加修改，即可得到自己模型的参数估计．同样方法，通过对模型（2）进行参数估计，得到的拟合曲线与模型（1）的结果极其相近．如果数据中出现异常值（Outliers），可以采用稳健的准则进行处理，修改拟合误差目标函数，算法不变，只不过选择优化算法时需要相应的改变，如式（3）不可导时，只能用Nelder-Mead单纯形算法类的无需导数的优化搜索算法．参考文献：[1]BrauerF，Castillo-ChavezC．MathematicalModelsinPopulationBiologyandEpidemiology[M]．Heidelberg：Springer-Verlag,2000[2]王运松，彭娜，徐世英．十一星瓢虫与蚜虫数量关系的种群动力学研究[J]．中央民族大学学报：自然科学版，2011，20（3）：65-68[3]徐文科，刘洋．捕食与被捕食者种群似乎不相关模型的参数估计[J]．黑龙江大学自然科学学报，2013（5）：570-575[4]RamsayJO，HookerG，CampbellD，etal．Parameterestimationfordifferentialequations：ageneralizedsmoothingapproach[J]．JournaloftheRoyalStatisticalSocietyB，2007，69（5）：741-796[5]CampbellDA，ChkrebtiiO．Maximumprofilelikelihoodestimationofdifferentialequationparametersthroughmodelbasedsmoothingstateestimates[J]．MathematicalBiosciences，2013（2）：283-292[6]MullerTG，TimmerJ．Fittingparametersinpartialdifferentialequationsfrompartiallyobservednoisydata[J]．PhysicaDNonlinearPhenomena，2002（1）：1-7[7]HuT，QiuYP，CuiHJ．Robustestimationofconstantandtime-varyingparametersinnonlinearordinarydifferentialequationmodels[J]．JournalofNonparametricStatistics，2015，27(3)：1-23[8]翁瑾．基于数值微分的两种群食饵—捕食者模型的参数估计及其性质的研究[D]．南昌：南昌大学，2010（上接第5页）证明由于0¹A，令1n-=BAA，则1=B．由引理2可知，B的n个特征根为1(1,2,,)niinl-=AL.设k*B的n个特征根为12,,,nxxxL，对矩阵B应用引理3，则1(1)1(1)(1)(1,2,,)kkknniiiinxll+----æö===ç÷èøAAL.由于1n=AAB，由性质3可知，(1)knkkn-**=AAB，运用引理2，则有1(1)(1)(1)(1)kkkknnnniiimxl+--+--==AA.证毕．参考文献：[1]谭志松．高次伴随矩阵的求法及其特征根[J]．鄂西大学学报，1986（1）：91-95[2]林玎，刘伟．高次伴随矩形的求法及其特征根[J]．吉林建筑工程学院学报，2001（1）：59-62[3]吕佳萍，孙向荣．可逆矩阵的高次伴随矩阵[J]．数学的实践与认识，2014，44（6）：274-278[4]王秀玉，白静纯．高次伴随阵的特征值与特征向量[J]．工科数学，1995，11（4）：135-139[5]安育成．矩阵与其高次伴随矩阵的特征根[J]．毕节学院学报，2007，25（4）：41-42[6]莫铁军．N阶方阵的K次伴随矩阵的一般形式[J]．零陵学院学报，2003，24（5）：16-18[7]范晓燕，冯德成．可逆矩阵的M次伴随矩阵与杨辉三角形[J]．数学教学研究，2011，30（5）：65-66[8]尹国敏．一次与高次伴随矩阵和准伴随矩阵及其特征值与特征向量[J]．大连大学学报，1992，2（1）：67-73[9]北京大学数学系．高等代数[M]．北京：人民教育出版社，1981[10]张禾瑞．高等代数[M]．4版．北京：高等教育出版社，1999[11]张远达．线性代数原理[M]．上海：上海教育出版社，1980