伍德里奇《计量经济学导论》(第4版)笔记和课后习题详解(2-8章)

使用普通最小二乘法，此时最小化的残差平方和为211niiiyx利用一元微积分可以证明，1必须满足一阶条件110niiiixyx从而解出1为：1121niiiniixyx当且仅当0x时，这两个估计值才是相同的。2.2课后习题详解一、习题1．在简单线性回归模型01yxu中，假定0Eu。令0Eu，证明：这个模型总可以改写为另一种形式：斜率与原来相同，但截距和误差有所不同，并且新的误差期望值为零。证明：在方程右边加上0Eu，则0010yxu令新的误差项为0eu，因此0Ee。新的截距项为00，斜率不变为1。2．下表包含了8个学生的ACT分数和GPA（平均成绩）。平均成绩以四分制计算，且保留一位小数。studentGPAACT12.82123.42433.02643.52753.62963.02572.72583.730（Ⅰ）利用OLS估计GPA和ACT的关系；也就是说，求出如下方程中的截距和斜率估计值01ˆˆGPAACT＾评价这个关系的方向。这里的截距有没有一个有用的解释？请说明。如果ACT分数提高5分，预期GPA会提高多少？（Ⅱ）计算每次观测的拟合值和残差，并验证残差和（近似）为零。（Ⅲ）当20ACT时，GPA的预测值为多少？（Ⅳ）对这8个学生来说，GPA的变异中，有多少能由ACT解释？试说明。答：（Ⅰ）变量的均值为：3.2125GPA，25.875ACT。15.8125niiiGPAGPAACTACT根据公式2.19可得：1ˆ5.8125/56.8750.1022。根据公式2.17可知：0ˆ3.21250.102225.8750.5681。因此0.56810.1022GPAACT＾。此处截距没有一个很好的解释，因为对样本而言，ACT并不接近0。如果ACT分数提高5分，预期GPA会提高0.1022×5=0.511。（Ⅱ）每次观测的拟合值和残差表如表2-3所示：表2-3iGPAGPA＾ˆu12.82.71430.085723.43.02090.379133.03.2253-0.225343.53.32750.172553.63.53190.068163.03.1231-0.123172.73.1231-0.423183.73.63410.0659根据表可知，残差和为-0.002，忽略固有的舍入误差，残差和近似为零。（Ⅲ）当20ACT，则0.56810.1022202.61GPA＾。（Ⅳ）残差平方和为：21ˆ0.4347niiu，而211.0288niiyy，则判定系数为：21SSR/SST10.4377/1.02880.577RGPA的变异中，有57.7%能由ACT解释。3．令kids表示一名妇女生过的孩子数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。生育率对受教育年数的简单回归模型为01kidseducu其中，u是无法观测到的误差。（Ⅰ）u中包含什么样的因素？它们可能与受教育程度相关吗？（Ⅱ）简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。答：（Ⅰ）收入、年龄和家庭背景（如兄弟姐妹的数量）都可能包含在误差项中。它们可能是与受教育程度相关的：收入和受教育程度是呈正相关的；年龄与受教育程度是呈负相关的；兄弟姐妹的数量与受教育程度是负相关的。（Ⅱ）假定（Ⅰ）中所列举的因素固定不变，即以误差项的形式呈现在回归方程中，但是误差项与解释变量是相关的，因此0Eueduc，经典假定被推翻，因此简单回归分析不能解释教育对生育率在其他条件不变下的影响。4．假设你对估计花在SAT备考课程上的小时数（hours）对SAT总分（sat）的影响感兴趣。总体是某一年内所有计划上大学的中学高年级学生。（Ⅰ）假设你有权进行一项控制实验。请说明为了估计hours对sat的引致效应，你将如何构建实验。（Ⅱ）考虑一个更加实际的情形，即由学生选择在备考课程上花多少时间，而你只能随机地从总体中抽出sat和hours的样本。将总体模型写作如下形式：01sathoursu其中，与通常带截距的模型一样，我们可以假设0Eu。列举出至少两个u中包含的因素。这些因素与hours可能呈正相关还是负相关？（Ⅲ）在（Ⅱ）的方程中，如果备考课程有效，那么1的符号应该是什么？（Ⅳ）在（Ⅱ）的方程中，0该如何解释？答：（Ⅰ）构建实验时，首先随机分配准备课程的小时数，以保证准备课程的时间与其他影响SAT的因素是独立的。然后收集实验中每个学生SAT的数据，建立样本1，：，，iisathourin，n表示试验中所包括的学生的数量。根据方程2.7，应该尝试采用尽可能多的有差异的“小时数”。（Ⅱ）误差项还可能包含以下三个因素：天赋能力、家庭收入以及考试当天的健康状况。如果学生拥有天赋能力，那么他们不需要为考试花费太多时间，能力与时间是负相关的。家庭收入与学习时间呈正相关关系，因为家庭收入越高，就能负担去越多的课时费用。排除慢性的健康问题，考试当天的健康状况与为准备考试花费的时间是无关的。（Ⅲ）如果备考课程有效，1的符号应该为正，在其他因素相同的情况下，备考时间越多，sat越高。（Ⅳ）截距有一个有用的解释：因为0EU，0表示备考时间为0时学生获得的平均sat总分。5．考虑储蓄函数01savincu，uince其中，e是一个随机变量，且有0Ee和2Varee，假设e独立于inc。（Ⅰ）证明：若|0Euinc，则满足零条件均值的关键假设（假定SLR.4）。[提示：若e独立于inc，则|EuincEe]（Ⅱ）证明：若2Var|euincinc，则不满足同方差假定SLR.5。特别地，sav的方差随着inc而增加。[提示：若e和inc独立，则Var|Vareince。]（Ⅲ）讨论支持储蓄方差随着家庭收入递增的证据。证明：（Ⅰ）计算inc的条件期望值时，inc变为一个常数，因此|0EuincEinceincincEeinc。（Ⅱ）inc的方差为：22Var|VarVareuincinceincinceincinc。（Ⅲ）低收入家庭支出的灵活性较低，因为低收入家庭必须首先支付衣食住行等必需品。而高收入家庭具有较高的灵活性，部分选择更多的消费，而另一部分家庭选择更多的储蓄。这种较高的灵活性暗示高收入家庭中储蓄的变动幅度更大。6．令0ˆ和1ˆ分别为OLS截距和斜率估计量，并令u为误差（不是残差）的样本均值。（Ⅰ）证明：1ˆ可写成111ˆniiiwu，其中/SSTiiiwd和iidxx。（Ⅱ）利用（Ⅰ）及10niiw，证明：1ˆ和u无关。[提示：要求你证明11ˆ0Eu]（Ⅲ）证明0ˆ可写成0011ˆˆux。（Ⅳ）利用（Ⅱ）和（Ⅲ）证明：2220ˆVarSSTxnx／／。（Ⅴ）（Ⅳ）中的表达式能简化成方程（2.58）吗？[提示：2121SST/nxiinnxx。]证明：（Ⅰ）该理论推导与公式2.52的推导本质上是一样的，区别只是将/SSTiiiwd带到求和的里面。（Ⅱ）因为111ˆˆcovuEu，，公式右边等于0。从（Ⅰ）可知，1111ˆnniiiiiiEuEwuwEuu。因为误差项两两互不相关，则0ihEuu，ih，22//iiEuuEunn。因此22111//0nnniiiiiiiwEuuwnnw。（Ⅲ）最小二乘估计的截距公式为：0ˆˆyx，代入01yxu，则0011011ˆˆˆxuxux。（Ⅳ）因为1ˆ和u是不相关的，则有：222222201xˆˆVarVarVar//SST//SSTxuxnxnx（Ⅴ）能。根据2121SST/nxiinnxx，则2202122221211ˆVarSST//SST/SST/SSTxxnniixiixnxnxxxnx7．利用KielandMcClain（1995）有关1988年马萨诸塞州安德沃市的房屋出售数据，如下方程给出了房屋价格（price）和距离一个新修垃圾焚化炉的距离（dist）之间的关系：2log9.400.312log1350.162pricedistnR＾，（Ⅰ）解释logdist的系数。它的符号是你所预期的吗？（Ⅱ）你认为简单回归给出了price对dist在其他条件不变下弹性的无偏估计量吗？（考虑一个城市决定放置焚化炉的地点的决策。）（Ⅲ）还有哪些其他因素影响房屋的售价？这些因素会与距离焚化炉的远近相关吗？答：（Ⅰ）符号为正，与预期相符。logdist的系数表示距离焚化炉的距离越远，价格就越高，价格的距离弹性是0.312，即距离远1%，价格上升0.312%。（Ⅱ）如果城市决定将焚化炉放置在远离较贵的居民区的地方，则logdist与房价是正相关的。这将违背假定4，而OLS估计是有偏的。（Ⅲ）房屋的面积、洗手间的数量、占地面积大小、房龄社区质量（包括学校质量）都会影响房屋的售价。这些与距离焚化炉的远近是有关的。8．（Ⅰ）令0ˆ和1ˆ为iy对ix进行回归的截距和斜率（有n次观测）；1c和2c为常数且20c；0和1为1icy对2icx进行回归的截距和斜率。证明120ˆˆ/cc１且010ˆˆc，从而验证了2.4节中关于度量单位的命题。[提示：为得到1，把改变了度量单位的x和y代入方程（2.19）。然后用方程（2.17）求0，确定代入的是进行度量单位变换后的x和y以及正确的斜率。（Ⅱ）现在令0和1得自（1icy）对（2icx）的回归（对1c和2c不加任何限制）。证明：11ˆˆ且00121ˆˆˆcc。（Ⅲ）令0ˆ和1ˆ为logiy对ix回归的OLS估计值，其中我们必须假定对所有i，都有0iy。对10c，令0和1为1logicy对ix回归的截距和斜率．证明：11ˆˆ且010ˆˆlogc。（Ⅳ）现在假定对所有i，都有0x。令0和1为iy对2logicx回归的截距和斜率。1和1与iy对logix回归的截距和斜率相比如何？答：（Ⅰ）因为11cycy，2xcxcx，当为1icy对2icx进行回归时，可以通过方程2.19得到方程的斜率：2211121112222221111112221ˆˆ=nniiiiiinniiiiniiiniicxcxcycyccxxyycxcxcxxxxyyccccxx根据公式2.17可得截距项为：0112112121110ˆˆˆˆˆ/cycxcycccxcyxc（Ⅱ）使用与（Ⅰ）相同的方法，可得11cycy，22cxcx。因此1111iiicycycycyyy，22iicxcxxx。在（1icy）对（2icx）的回归中，1c和2c被完全排除在斜率公式以外，以及11ˆˆ。截距为：011211211210121ˆˆˆˆˆˆˆcycxcycxyxcccc。（Ⅲ）因为11logloglogiicycy，令1c代替1logc，iy代替logiy，且