3.2-直线的方程2

直线的方程黄图盛中学数学组林映端一.复习回顾直线的方程与方程的直线直的倾斜角和斜率概念辨析直线的方程斜率公式斜率公式的形式特点及适用范围确定一条直线需要具备几个独立条件以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线。直线的方程与方程的直线直线的倾斜角和斜率在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用K表示。斜率公式经过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线的斜率公式：2121yykxx斜率公式的形式特点及适用范围①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的前后次序可同时颠倒；②斜率公式表明，直线对于x轴的倾斜程度，可以通过直线上任意两点坐标表示，而不需求出直线的倾斜角；③斜率公式是研究直线方程各种形式的基础，必须熟记，并且会灵活运用;④当x1=x2,y1y2时，直线的倾斜角＝900，没有斜率.确定一条直线需要具备几个独立条件1直线经过一个已知点及方向（即斜率）;2直线经过两个已知点；如果把直线当作结论，如何根据这些条件求出直线方程？7.2直线的方程若直线L经过点P1（1，2），且斜率为1，求直线L的方程.思考1、直线方程的点斜式和斜截式若直线L经过点p1(x1,y1)，且斜率为k，求L的方程？问题1平面上的所有直线是否都可以用点斜式表示？问题2：1、直线方程的点斜式和斜截式讨论：（1）区别方程与方程。（2）直线的斜率k=0时，方程如何？（3）点斜式方程有狭隘性？哪方面？（4）直线的斜率不存在时，方程如何？kxxyy11)(11xxkyy不能,因为斜率可能不存在.因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.纵截距：直线L与Y轴交点的纵坐标。横截距：直线L与X轴交点的横坐标。已知直线的斜率为K，与Y轴的交点是P（0，b），求直线L的方程？说明：(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。(2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。问题3：1、直线方程的点斜式和斜截式(3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用斜截式比用点斜式更方便.(4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.例1:一条直线经过点P1(-2,3)，倾斜角=450，求这条直线的方程.例2:写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴斜率是1/2，在轴上的距截是－2；⑵斜角是1350，在轴上的距截是3①如果直线l的倾斜角为0°，那么经过一点P1(x1，y1)的直线l的方程为。y=y1②如果直线l的倾斜角为90°，那么经过一点P1(x1，y1)的直线l的方程为。x=x1③一条直线经过点P（-2，3），倾斜角为45°，求这条直线的方程，并画出图形。课堂练习写出下列直线的点斜式方程；（1）经过点A（2，5），斜率是4；（2）经过点B（3，-1），斜率是；（3）经过点C（-，2），倾斜角是30°；（4）经过点D（0，3），倾斜角是0°；（5）经过点E（4，-2），倾斜角是120°；2254(2)yx12(3)yx3223yx30y234yx答案（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么直线的斜率是______,倾斜角是______(2)已知直线的点斜式方程是32(1),3yx那么直线的斜率是________倾斜角是______，145o150o(3).下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()A.x=3B.y=－5C.2y=xD.x=4y－1B(4)已知直线的斜率k=2，P1(3,5),P2(x2,7),P3(-1,y3)是这条直线上的三点，求x2,y3.33小结①方程y-y1=k(x-x1)是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线方程的点斜式；②方程y=kx+b是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的斜截式；③求直线方程应注意分类：(ⅰ)当k存在时,经过点P1(x1，y1)的方程为y-y1=k(x-x1)；(ⅱ)当k不存在时，经过点P1(x1，y1)的方程为x=x1。④方程y=kx+b是y-y1=k(x-x1)的特殊情况，其图形是直线，运用它们解决问题的前提是k存在。通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？方程名称已知条件直线方程适应范围点斜式斜截式小结y-y0=k(x-x0)y=kx+b点(x0,y0)斜率k截距b斜率kk存在k存在2一直线过点A(-1,-3)，其倾斜角等于直线y=2x倾斜角的两倍，求直线l的方程.1直线y=ax+b(a+b=0)的图象是()1-1-1ABCD课前练习2、直线方程的两点式和截距式已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1x2)求直线方程.范围的区别应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的直线方程：⑴A(2,1),B(6,-3)；⑵A(-4,-5),B(0,0)两点式)(112121xxxxyyyy121121xxxxyyyy由于这个方程是由直线上两点确定的探究1：哪些直线不能用两点式表示？探究2：若要包含倾斜角为900或0的直线，应把两点式变成什么形式？探究3：我们推导两点式是通过点斜式推导出来的，还有没有其他的途径来进行推导呢？2、直线方程的两点式和截距式例1:求过下列两点的直线的两点式方程，再化为斜截式方程.（1）A（2,1），B（0，－3）；（2）A（1，2），B（3,4）（3）A（0,5），B(5,0)；（4）A(a,0)B(0,b)（a,b均不为0）2、直线方程的两点式和截距式2、直线方程的两点式和截距式直线与x轴交于一点（a,0）,定义a为直线在x轴上的截距；直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以叫做直线方程的截距式.由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？1byax探究4：a,b表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？探究5：有没有截距式不能表示的直线？2、直线方程的两点式和截距式例3、说出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0；⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6；⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行；⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.2、直线方程的两点式和截距式例2、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)求这个三角形三边所在的直线方程.2、直线方程的两点式和截距式..;1.;))(())((),(),,(.;)(),(.)(12112122211100000表示用经过定点的直线都可以表示以用方程不经过原点的直线都可表示都可以用方程的点的直线经过任意两个不同表示方程的直线都可以用经过定点题是下列四个命题中的真命bkxyDbyaxCyyxxxxyyyxPyxPBxxkyyyxPAB2、直线方程的两点式和截距式1过点P(2,1)作直线L交x,y正半轴于A,B两点，当|PA|.|PB|取到最小值时，求直线L的方程。2已知直线的斜率为1/6，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。3一条直线经过A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4，求这条直线的方程。1byax通过上面的学习和应用，请同学们总结一下，确定一条直线需要几个独立的条件？方程名称已知条件直线方程适应范围两点式截距式小结P1(x1,y1)P2(x2,y2)x轴上的截距y轴上的截距121121xxxxyyyy2121,yyxxa0且b03、直线方程的一般形式直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式斜截式两点式截距式P(x1,y1)及kk及bP(x1,y1)及P2(x2,y2)a及ba0且b0①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?)(11xxkyy存在kbkxy存在k121121xxxxyyyy2121,yyxx1byax3、直线方程的一般形式问题1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？问题2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式斜截式两点式截距式P(x1,y1)及kk及bP(x1,y1)及P2(x2,y2)a及ba0且b0什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?)(11xxkyy存在kbkxy存在k121121xxxxyyyy2121,yyxx1byax问题1：平面内的任一条直线，一定可以用以上四种形式之一来表示吗？问题2：是否存在某种形式的直线方程，它能表示平面内的任何一条直线？探究2：在平面直角坐标系中，任何直线的方程都可以表示成Ax+By+C=0(A、B不全为0)的形式吗？探究1：方程Ax+By+C=0(A、B不全为0)总表示直线吗？Ax+By+C=0(其中A、B、C是常数，A、B不全为0)的形式，叫做直线方程的一般式3、直线方程的一般形式3、直线方程的一般形式解：经过点A（6，-4）并且斜率等于-4/3的直线方程的点斜式是y+4=-4/5（x–6）化成一般式，得4x+3y–12=0例1、已知直线经过点A（6，-4），斜率为-4/3，求直线的点斜式和一般式方程.注意对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.2.已知直线Ax+By+C=0(1)当B≠0时，斜率是多少?当B＝0时呢?(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?①斜率是–1/2，经过点A（8，-2）；②经过点B（4，2），平行于X轴；③在X轴和Y轴上的截距分别是3/2，-3；④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；⒈根据下列条件写出直线的方程，并且化成一般式：3、直线方程的一般形式解：将原方程移项，得2y=x+6，两边除以2，得斜截式因此，直线L的斜率k=1/2，它在Y轴上的截距是3，令y=0，可得x=-6即直线L在X轴上的截距是-6xyo3-6例2、把直线l的方程x–2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在X轴与Y轴上的截距，并画图.321xy3、直线方程的一般形式例3、设直线L的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列条件确定m的值：（1）L在X轴上的截距是-3；（2）斜率是-1.解：（1）由题意得(2)由题意得当m=－1时，2m2+m－1=0，∴m≠-1∴m=4/3332622mmm623322.\mmm353mm或解得032,32mmm时而当35,3\mm1323222mmmm0)12(3222\mmmm341mm或解得⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形：①3x+y-5=0②x/4－y/5=1③x+2y=0④7x－6y+4=0⑤2y－7=03、直线方程的一般形式例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.解：设直线为Ax+By+C=0，∵直线过点（0，3）代入直线方程得3B=-C，B=－C/3∴A=±C/4又直线与X，Y轴的截距分别为x=-C/AY=-C/B由三角形面积为6得∴方程为OXY3所求直线方程为3x-4y+12=0或3X+4y-12=0122ABC034±CyCxC