导数的应用问题常见类型及解法

导数的应用问题常见类型及解法导数的应用问题主要是利用导数研究函数的问题，其中函数是载体，导数是工具。该类问题的常见类型有：切线问题、单调性问题、极值（或最值）问题、恒成立问题、比较大小及证明不等式问题、零点问题以及以上各个问题的综合等。一、切线问题【理论阐释】由导数的几何意义可知，可导函数()fx在点00(,())Pxfx处切线的斜率0()kfx，从而可由点斜式求出曲线在点P处的切线方程。切线问题包括求切线的方程及求参数取值。对于这些问题，一要把握住切点的“三重身份”：①切点在曲线上，②切点在切线上，③0()kfx；二要注意所给点是否在曲线上。【典例导悟】【例1】（2009安徽高考）已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是（）（A）21yx（B）yx（C）32yx（D）23yx【解析】选A.由2()2(2)88fxfxxx得2(2)2()(2)8(2)8fxfxxx，即22()(2)44fxfxxx，∴2()fxx∴()fx/()2fxx，∴切点为(1,1),2k，所以切线方程为12(1)yx，即210xy,选A.【例2】（2009福建高考）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_______.【解析】由题意可知函数3()lnfxaxx的定义域为(0,)，'21()2fxaxx3'21()2fxaxx，又因为曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，所以方程3231120(0,)(0),0.2axaxaxx在上有实数解，231120(0,)(0),0.2axaxaxx在上有实数解，313x231120(0,)(0),0.2axaxaxx在上有实数解，【答案】(,0)【解析】由题意可知函数3()lnfxaxx的定义域为(0,)，'21()2fxaxx3'21()2fxaxx，又因为曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，所以方程323112(0),0.2axaxaxx实数，0在(0,+∞)上有解231120(0,)(0),0.2axaxaxx在上有实数解，313x231120(0,)(0),0.2axaxaxx在上有实数解，【答案】(,0)二、单调性问题【理论阐释】用导数研究函数的单调性问题体现在两个方面：1.判断可导函数的单调性、求单调区间函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。设函数在某区间内可导，则()0()fxfx在该区间上单调递增；()0()fxfx在该区间上单调递减．用导数法确定函数的单调性时的步骤是：用导数法确定函数的单调性时的步骤是：(1)求出函数的导函数(2)求解不等式()0fx求得其解集,再根据解集写出单调递增区间;(3)求解不等式()0fx求得其解集,再根据解集写出单调递减区间;注意：①单调区间不以“并集”出现。②单调区间应在“定义域”内。2.求参数范围问题已知可导函数在M上单调，求参数范围的问题可转化为求使()0fx（或0）在M上恒成立来解决即：若()fx在某区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；若()fx在某区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）．【典例导悟】【例1】（2009安徽高考）已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.【解析】()fx的定义域是(0,+),22222()1.axaxfxxxx设2()2gxxax,二次方程()0gx的判别式28a.①当280a，即022a时，对一切0x都有()0fx,此时()fx在(0,)上是增函数。【例1】（2009安徽高考）已知函数2()(2ln),(0)fxxaxax，讨论()fx的单调性.【解析】()fx的定义域是(0,+),22222()1.axaxfxxxx设2()2gxxax,二次方程()0gx的判别式28a.①当280a，即022a时，对一切0x都有()0fx,此时()fx在(0,)上是增函数。②当280a,即22a时，仅对2x有()0fx,对其余的0x都有()0fx,此时()fx在(0,)上也是增函数。③当280a，即22a时，设方程()0gx有两个不同的实根2182aax,2282aax,120xx.x1(0,)x1x12(,)xx2x2(,)x()fx+0_0+()fx单调递增极大单调递减极小单调递增此时()fx在28(0,)2aa上单调递增,在2288(,)22aaaa上单调递减,在28(,)2aa上单调递增.【例2】（2009海南·宁夏高考）已知函数32()(3)xfxxxaxbe（1）如3ab，求()fx的单调区间；（2）若()fx在(,),(2,)单调增加，在(,2),(,)单调减少，证明：＞6.【解析】（1）当3ab时，32()(333)xfxxxxe，故322'()(333)(363)xxfxxxxexxe3(9)xexx322'()(333)(363)xxfxxxxexxe3(9)xexx(3)(3)xxxxe当3x或03'()0;xfx时，当303'()0.xxfx或时，从而()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）()(,3),(0,3)303fx在单调增加，在（，），（，）单调减少.(2)3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba3223'()(3)(36)[(6)].xxxfxxxaxbexxaeexaxba由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,fababa即故从而3'()[(6)42].xfxexaxa因为'()'()0,ff所以3(6)42(2)()()xaxaxxx2(2)(()).xxx将右边展开，与左边比较系数得，2,2.a故2()4124.a又(2)(2)0,2()40.即2αβαβa+=-2解代入可得6.a于是6.三、极值（或最值）问题【理论阐释】1．函数的极值：导数是解决函数极值问题最有效的工具。对于可导函数()fx，当()0fx有实数根0x，且导函数()fx的函数值在0x两侧的值异号时，则()fx在0xx处有极值。函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。0()0fx仅是函数()fx在点0x处有极值的必要条件，点0x是()fx的极值点，当且仅当在0x的左右()fx的符号产生变化。（1）极值的概念：函数()fx在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有点都有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称0()fx为函数的一个极大（小）值，称0x为极大（小）值点．（2）求函数极值的一般步骤：①求导数()fx；②求方程()0fx的根；③检验()fx在方程()0fx的根的左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()fx在这个根处取得极大（小）值．口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。2．函数的最值：函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数()fx在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式()yfx,并注明其定义域，当()0fx在定义域内只有一个解时，则此点即为函数()fx的最值点。求函数的最值的步骤为①求函数()fx在区间[,]ab上的极值；②将极值与区间端点函数值(),()fafb比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．该类问题包括两种情况：已知函数的解析式求极值（最值）；已知函数的极值（最值）求参数范围。【典例导悟】【例1】(2009山东高考)已知函数321()33fxaxbxx,其中0a(1)当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值?(2)已知0a,且)(xf在区间(0,1]上单调递增,试用a表示出b的取值范围.【解析】(1)由已知得2'()21fxaxbx,令0)('xf,得2210axbx,)(xf要取得极值,方程2210axbx必须有解,所以△2440ba,即2ba,此时方程2210axbx的根为2212442bbabbaxaa,2222442bbabbaxaa,所以12'()()()fxaxxxx当0a时,x1﹤x2x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函数极大值减函数极小值增函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.当0a时,x2﹤x1x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)减函数极小值增函数极大值减函数所以)(xf在x1,x2处分别取得极大值和极小值.综上,当ba,满足2ba时,)(xf取得极值.(2)要使)(xf在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210fxaxbx在(0,1]上恒成立.即1,(0,1]22axbxx恒成立,所以max1()22axbx设1()22axgxx,2221()1'()222axaagxxx221()2axax,令'()0gx得1xa或1xa(舍去),当1a时,101a1xa101a,当1(0,)xa时'()0gx,1()22axgxx是单调增函数;当1(,1]xa时'()0gx,1()22axgxx是单调减函数.所以当1xa时,()gx取得最大,最大值为1()gaa.所以ba当01a时,11a,此时'()0gx在区间(0,1]恒成立,所以1()22axgxx在区间(0,1]上单调递增,所以当1x时()gx取得最大,最大值为1(1)2ag,所以12ab综上,当1a时,ba;当01a时,12ab【例2】(2009山东高考)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k；当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。【解析】（1）如图,由题