北师大版初三数学九年级下册-第一章-直角三角形的边角关系-全章优秀PPT课件

第一章直角三角形的边角关系学习新知你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.应该如何来描述它的倾斜程度呢?从梯子的倾斜程度谈起梯子是我们日常生活中常见的物体你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？正切的定义在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?问题1问题2在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?问题3在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?问题4在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?483.5358351.531.313313ACEDBCFD，，，∴梯子EF比梯子AB更陡.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.【想一想】如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?得出两个三角形相似.理由：∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.1122122BCBCACAC（）和有什么关系？112212=BCBCACAC.由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有总结提升如图所示，在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么锐角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tanA与tanB有什么关系?1tanBtanA=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tanA不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.例1如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,tanα=41=82.乙梯中,tanβ=2255=.1213-5因为tanαtanβ,所以甲梯更陡.如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是:i=tanα=603=.10053=5铅直高度水平宽度结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.检测反馈1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tanA等于()A.B.C.D.513512解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tanA=.故选B.B51212131252.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.2332解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.B3221313313133.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是.11:..22BCtanAAC解析故填1234.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1:(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.33225(53)解析:在Rt△ABC中,BC=5,tanA=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.10m第一章直角三角形的边角关系学习新知如图所示,我们在上一节课学习了直角三角形中的一种边与角之间的关系——正切.由正切定义我们知道正切是一个比值,并且得出了当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其对边与邻边的比值便随之确定.问题思考正弦、余弦、三角函数的定义问题1如图所示,在直角三角形中,除了两直角边的比值外还有其他边之间的比值吗?以∠A为例，共同总结：∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA，即sinA=∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA,即cosA=锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.提示:当锐角A变化时,相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.A的对边斜边A的邻边斜边sinA,cosA与梯子倾斜程度的关系问题2在教材图1-3中,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?BCAB1111BCAB如图所示，AB=A1B1，在Rt△ABC中，sinA=，在Rt△A1B1C1中sinA1=.∵AB=A1B1，1111.BCBCABAB即sinA＜sinA1,∴梯子A1B1比梯子AB陡.∴梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大,梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.例2如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.200BCBCAC,即解:在Rt△ABC中，∵sinA==0.6，∴BC=200×0.6=120.想一想:你还能求出cosA，sinC和cosC的值吗?cosA=0.8，sinC=0.8，cosC=0.6.[知识拓展]1.若∠A+∠B=90°；一个锐角的正弦等于它余角的余弦，sinA=cosB；一个锐角的余弦等于它余角的正弦；cosA=sinB.sincosAA2.锐角三角函数之间的关系:(1)同一个角:①商的关系:tanA=；②平方关系:sin2A+cos2A=1.(2)互余两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB.1213【做一做】如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°，cosA=，AC=10，AB等于多少?sinB呢?解:在Rt△ABC中,∵cosA=∴AB=∴sinB=101213ACABAB，101365.1261012.65136ACAB检测反馈1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosB=,则BC的长为()A.4B.2C.D.235181313121313解析:∵cosB=，∴.∵AB=6，∴CB=×6=4.故选A.2323CBAB232.在Rt△ABC中,∠C=90°，若cosA=,则tanB的值是()A.B.C.D.2555535552解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∴cosA=,tanB=,AC2+BC2=AB2.∵cosA=,∴设AC=2x(x0),则AB=3x,BC=x,∴tanB=.故选A.ACAB522555xxAA2323ACBC3.如图所示,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是.解析:∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，∴AB=2CD=4，∴sinB=.故填.3.4ACAB344.如图所示,△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=.解析:过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,如图所示,设小方格的边长为1，在Rt△ACD中，AC==2,∴sinA=故填.555.5CDAC553422ADCD55.如图所示,∠ACB=90°，DE⊥AB,垂足为点E，AB=10，BC=6，求∠BDE的三个三角函数值.解:∵∠C=∠BED=90°,∠B=∠B,∴△ACB∽△DEB,∴∠BDE=∠A,∴sin∠BDE=sinA=,cos∠BDE=cosA=,tan∠BDE=tanA=.354534第一章直角三角形的边角关系30°，45°，60°角的三角函数值学习新知同学们,老师用我们常用的三角板拼成一棵松树,你从图片中发现了哪些锐角呢?问题思考30°角的三角函数值有关这副三角板的边角关系的知识,你已经了解哪些?(1)直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半;(2)45°角所在的直角三角形的两直角边相等.能利用上面的性质得出sin30°等于多少吗?我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示),根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质,可得斜边等于2a,所以sin30°=1.22aa根据勾股定理得较长的直角边长为a，所以cos30°=，tan30°=.33322aa13333aa45°,60°角的三角函数值sin60°=，cos60°，tan60°.3322aa122aa33aa【做一做】(1)60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?(2)45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的?如图所示,设其中一条直角边为a,则另一条直角边也为a,根据勾股定理可得斜边为a.由此可求得:sin45°=，cos45°=，tan45°=.12222aa12222aa1aa2三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα3004506002123332222123213由于30°,45°,60°三个特殊角的三角函数值的分母都可以变化成一样的,只是分子不同,所以30°,45°,60°角的三角函数值可以利用口诀“一二三,三二一,三九二十七”进行记忆.(1)sin30°+cos45°;(2)sin260°+cos260°-tan45°.解:(1)sin30°+cos45°22211212322(2)sin260°+cos260°-tan45°14143.221.0计算:如图(1)所示,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边的摆动角相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).（1）∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.,306021∠AODOD=2.5m,解:如图（2）所示,根据题意可知,,30cosODOC∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).).(165.2235.230cosmODOC检测反馈1.计算6tan45°-2cos60°的结果是()A.4B.4C.5D.533解析:原式=6×1-2×=5.故选D.12D2.式子2cos30°-tan45°-的值是()A.2-2B.0C.2D.2332(1tan60)解析:原式3=21(31)31310.2B故选.B3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,现给出下列结论:①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=.其中正确的结论是.(只需填上正确结论的序号)3212333解析:如图所示,∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=2BC，∴sinA=,故①错误；∵sinA=，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=，故②正确;∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确.故填②③④.121212333②③④4.如图(1)所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画射线OB,则cos∠AOB的值等于.1212解析:如图(2)所示,连接AB,由画出图形的过程可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos60°=.故填.125.如图所示,小明在公园里放风筝,拿风筝线的手B离地面的高度AB为1.5m,风筝飞到C处时的线长BC为30m,这时测得∠CBD=60°,求此时风筝离地面的高度.(结果精确到0.1m,≈1.73)3解:在直角三角形BCD中,sin∠CBD=,∴CD=BC·sin∠CBD=30×sin60°=15≈25.95(m).∴CE=CD+AB≈25.95+1.