《-平面直角坐标系》---(北师大版--选修4-4)

第一章《坐标系》§1平面直角坐标系北师大版选修4-4学习目标1.了解曲线与方程的关系;2．会运用坐标法求曲线方程问题;3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平面图形的变化情况及作用．自主学习自学课本P1—P5的内容，并完成下列问题：1.完成《三维设计》中第1页“自主学习”2.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？3.求曲线的方程有哪些方法？应该注意什么问题？4.平面直角坐标系的作用是什么？1.平面直角坐标系（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）,曲线与方程建立联系从而实现数与形的结合.（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.（3）用坐标法解决几何问题步骤：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论点拨精讲题型一轨迹探求例1线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．设P(x，y)，由于△OAB是直角三角形，P为AB的中点，所以，|OP|＝12|AB|，即x2＋y2＝12×4，即x2＋y2＝4.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适．解析：解法一以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示．建立直角坐标系，同解法一．设P(x，y)，A(x1，0)，B(0，y2)，则①又P为AB的中点，所以x1＝2x，y2＝2y.代入①，得4x2＋4y2＝16.故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.答案：x2＋y2＝4162121yx解法二当堂检测《三维设计》第2页“即时突破”1．求曲线方程一般有下列五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；(3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；(4)化简方程f(x，y)＝0(必须是等价变形)；(5)检验以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补上遗漏点或挖去多余点．方法总结(1)直接法：动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达。(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点。2．求曲线方程主要有以下几种方法：(3)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量。(4)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程。2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.(2)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:𝑥'=𝜆𝑥(𝜆0),𝑦'=𝜇𝑦(𝜇0)的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.题型二伸缩变换例2在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x＇＝2x，y′＝4y后的图形．(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.解析：由伸缩变换式x′＝2x，y′＝4y得x＝12x′，y＝14y′.①(1)将①代入2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为x′＋y′＝1.所以，经过伸缩变换后，直线2x＋4y＝1变成直线x′＋y′＝1.(2)将①代入x2＋y2＝4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为x′24＋y′216＝4.所以，圆x2＋y2＝4经过伸缩变换后变成椭圆x′216＋y′264＝1.答案：(1)x′＋y′＝1(2)x′24＋y′216＝4例3在平面直角坐标系中，经过伸缩变换5x＇＝x4y＇＝y，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，求曲线C的方程．解析：设曲线C上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的坐标为(x′，y′)，由5x′＝x，4y′＝y得x′＝15x，y′＝14y.代入x′2＋y′2＝1，得x225＋y216＝1.答案：x225＋y216＝1点评：若已知P(x，y)是伸缩变换之前图形f(x，y)＝0上的任意一点，在变换x′＝λx（λ0），y′＝μy（μ0）的作用下，得到了P(x，y)在变换下的对应点P′(x′，y′)，因而可以求得变换后的图形方程f(x′，y′)＝0，反过来，变换又可以表示为x＝1λχ′（λ0），y＝1μy′（μ0），点P(x，y)对应得到点P′(x′，y′)，即由变换可得出f(x，y)＝0.2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22得9x-9y=922即x-y=122x-9y=93xxyy2.解：将代入当堂检测3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，22代入x+y=1得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy当堂检测布置作业《三维设计》第4页1,2,3,4,5,8,9