吴望一流体力学习题及测试题答案

课后习题答案练习题（一共九套）测试题（一共3套）第二章流体力学的基本概念随堂作业：粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在二维直角坐标系中的形式解：粘性流体0，不可压缩均质流体C，定常流动0t，绝热0q，二维直角坐标系0z。连续性方程：0uvxy运动方程：,,xyxxxxyyyyPPduFdtxyPPdvFdtxy本构方程：12,312,3xxyyxyuuvPPxxyvuvPPyxyuvPxy一基本概念7.用Euler观点写出下列情况下密度的数学表达式：1）均质流体2）不可压均质流体3)定常运动解：1)0,()t，空间各点的密度相同。2)不可压缩：0ddt，也就是0tv，均质0；于是对于不可压均质流体0，0t，也就是const，密度为常数。3）定常运动：0t，(,,)xyz，空间各点的密度不随时间变化11．设流体运动以Euler观点给出22,,0,uaxtvbytw(0)ab，将此转换到Lagrange观点中去，并用两种观点分别求加速度解：220dxaxtdtdybytdtdzdt，积分得到2213222331(22)1(22)atbtxatatCeaybtbtCebzC，求积分常数，假设当0t时质点位于位置000(,,)xyz，则得到：0102033322,,xCyCzCab，回代即可得到流体运动的Lagrange描述：2203322033012(22)()12(22)()atbtxatatxeaaybtbtyebbzz运动为二维平面运动。下面求加速度Lagrange观点：2202322atxxaxaetaa2202322btyxaybetbb0zaEuler观点：22()xuuuauvtaaxttxy;22()yvvvauvtbbyttxy;0za可以验证，在t＝0时，二者求得的加速度相同，此时质点的加速度即为加速度场二流线与迹线，加速度1(2)2222,,0,cxcyuvwxyxyc是常数,试画出流线族;解：流线的微分方程为dxdyuv,将2222,cxcyuvxyxy代入得2222dxdycxcyxyxy,积分后得lnlnxyC,得,yCxzB，其中B、C为积分常数。1(8)22,2,uxyvxy求通过1,1xy的一条流线;解:流线的微分方程为dxdyuv,将22,2uxyvxy代入,得222dxdyxyxy,积分得323yxyC,其中C为积分常数。将1,1xy代入,求得2C。所求流线方程为32320yxy。1(11)设,,0uxtvyt,求通过1,1xy的流线及0t时通过1,1xy的迹线;解:解：流线的微分方程为dxdyxtyt积分求得()()xtytC，流线通过（－1，－1）点，即有21Ct，过此点的流线方程为：010xyytxtzz由轨迹的微分方程,dxdyxtytdtdt，0dzdt积分求得1231,1ttxcetycetzct＝0时，质点的Lagrange坐标即为其空间位置0(1,1,)z，于是求得常数为：12300,0,cccz求得t＝0时过该点的轨迹参数方程为：011xtytzz，或020xyzz2．考虑空间点源运动，设流体由点源O辐射流出，有设速度大小为2()||4trv，其中r为O点到要求速度那点的距离，方向为矢径r的方向（1）证明此特殊情况下，流线与迹线是重合的（2）试问，在一般情况下，有没有流线与迹线重合的充分必要条件解：（1）球坐标系下，除了径向分量之外速度的其他两个分量为0，即||vrV，0,0VV，且drrddrsin,,r，由流线定义，0rv，得：0sin0||drrddrv容易求得过空间),,(000r任一点的流线方程为00,即从点源辐射出去的直线.另外根据迹线方程0sin04)(2dtdrdtrdrtdtdr,容易求得000),(rtrr,000,,r为0tt时刻质点的空间位置,显然质点的轨迹是从点源O辐射出去的直线;由此,迹线和流线是重合的（2）由（1）我们可以看出即使流场非定常，流线也可以是和质点轨迹重合的。从（1）中我们还发现尽管流场非定常，但是过空间任一点0rr的流线是定常的，从数学上来说即流线方程不依赖时间，可表示为00),,(),,(gzyxgfzyxf，这就是流线和迹线重合的充分必要条件。先证明充分性：设在直角坐标下的速度场为),,(),(wvutrv，其中分量都是空间和时间的函数。在任意t时刻流线的方程为),(),(),(twdztvdytudxrrr，或者),(),(,),(),(tutwdxdztutvdxdyrrrr，因为流线定常，必定有)(),(rrGuwFuv，因此wvu,,可以分离变量为)()()()()()(tTWwtTVvtTUurrr此时，流线方程)()(,)()(rrrrUWdxdzUVdxdy，积分得过空间任一点),,(000zyx的流线方程为00),,(),,(gzyxgfzyxf此时迹线方程为：dttwdztvdytudx),(),(),(rrr，即dttTWdzVdyUdx)(，显然不对时间积分就可以求出过空间任一点),,(000zyx的迹线方程00),,(),,(gzyxgfzyxf，即与过该点的流线方程相同。因此当流线定常时，流线和迹线重合。再说明必要性：1t时刻过空间一点1r处的流线记为1s，由于流线和迹线重合，故其对应的流体质点轨迹也是该流线1s；2t时刻（12tt）该流体质点移动到2r，因为1s是该流体质点的迹线故2r在1s上；记2t时刻过2r的流线为2s，又由于流线和迹线重合，所以2s与1s重合，因此2s也是过1r处的流线，即在1r处2t时刻的流线与1t时刻的流线相同。所以如果流线和迹线重合，流线不依赖时间变化，即流线方程定常。三运动类型的判别1（3）,,0;ucyvcxw对流场进行分析，是有旋运动，还是无旋运动，求出它们的流线形状,其中c是常数。解：0()0,()00,()()2,xyzwvcxrotVyzyzuwcyrotVzxzxvucxcyrotVcxyyz0rot故为有旋运动。流线的微分方程为dxdyuv,将,ucyvcx代入得dxdycycx，积分得2222xyC所以流线形状为椭圆形。五其他1.试证明，如果流管中存在与流线垂直的横截面，则在该横截面上必然存在0vvrot证：在流管的截面上由于流线与截面垂直，故过其上任一点有面积微元dsdsdvvns，且0rsdd，即0rvd该面积微元的周线为l，由于0lddsrvnΩ，故0vvn，即在该截面的任一点上有0vvrot2.速度场给定如下（1）3rrv，其中222rxyz（2）0crvθ，其中0θ为球坐标中θ方向的单位矢量。求通过以原点为中心，半径为R的球面S的流体体积流量。解：考虑半径为r的球面S，其上的面积微元为2sinsindrdrdrddsnn，其中rrn为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为22200()sinsinSQrdrdddrdvsvnvr（1）230()sin4Qrdrdrrr，故求得()4QR（2）因0θ与r垂直，200()sin0cQrdrdrθr，故()0QR第三章流体力学基本方程组4（2）选取一层薄球壳为研究对象，则单位时间内流入的流体质量等于因密度变化引起的质量变化，则：22222()()4()()()44vrrdrvrdrrdrrvrrrdrrtrt。进一步变形可得20vrvtxr，即20vrddtr。若流体不可压缩，0ddt，则20vrr，此式表示各同心球面上的流体质量和体积通量相等。9试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的(1)222,2,4()uxyvyzwxyzxy解:：22444()0(2)(2)(4())uuuuuuxyxyxyzxyyzxyzxy满足不可压缩流体连续性方程,所以运动是运动是可能存在的。13求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件(1)111222333,,;uaxbyczvaxbyczuaxbycz解：成为不可压缩流体可能运动的条件是1230uuuabcxyz。15．假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横截面积，且在A断面上的流动物理量是均匀的。试证明连续方程具有下述形式()()0AAuts式中u是速度，ds是流动方向的微元弧长。证明：在流管上选取长为s的一段作为研究对象，则其质量的随体导数满足()0dAsdt()()0dAdssAdtdt，利用吴书p135公式（2.12.1）()()0()()0()()0AAususAstssAAustsAAuts22已知粘性流体在圆管中作层流流动时的速度分布为220()ucrr，其中c为常数,0r是圆管半径,求:(1)单位长度圆管对流体的阻力;(2)在管内0/2rr处沿圆管每单位长流体的内摩擦。解：（1）220(())2dcrrducrdrdr。边界处00,2rrcr。单位长度圆管对流体的阻力20024Frcr。（2）在管内0/2rr处，20022rFcr。23一长为l,宽为b的平板,完全浸没于粘性系数为的流体中,流体以速度0u沿平板平行流过。假定流体质点在平板两面上任何一点的速度分布情况如图所示。求：（1）平板上的总阻力；（2）/2yh处的流体内摩擦力；（3）3/2yh处的流体内摩擦力；解：（1）由牛顿内摩擦定律FduIAdy，而0,0,0yuuvwh，所以平板上的总阻力022uFIAblh。（2）/2yh处的流体内摩擦力0ududyh（3）3/2yh处，dudy=0，所以此处流体内摩擦力为0。25．两个无限大的平行平板间，充满着不可压缩的绝热粘性流体)(，，下板静止，上板以速度0u沿水平方向移动，求流场中每单位体积的内能增加。解：流场中每单位体积的内能在单位时间内的增加等于积耗散函数2223ijjikksss，其中变形速度张量为00002002000uhuSh故有2220122122()ussh。27．一半径为R的实心圆柱（无限长）在充满着不可压缩粘性流体的空间中以等角速度转动，流场的速度分布为2222,yxuRvRrr，rR计算VdUddt，并证明其等于L（忽略热传导），其中L为作用在