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华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq11、、无穷小无穷小定义.若0xx→时,函数()0fx→则称函数)(xf0xx→例如:,0)1(lim1=−→xx,01lim=∞→xx,011lim=−∞−→xx为时的无穷小.三、三、无穷小与无穷大（或自变量的其它五种变化趋势）（或自变量的其它五种变化趋势）0(lim()0)xxfx→=华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq除0以外任何很小的常数都不是无穷小!因为0)(lim0=→xfxx,0∀ε,0∃δ当δ−00xx时,ε−0)(xf显然C只能是0CC说明:华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq时,有{},,min21δδδ=无穷小运算法则无穷小运算法则((定理定理2.3.1)2.3.1)1）.有限个无穷小的代数和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设,0lim0=→αxx,0lim0=→βxx,0∀ε,01∃δ当100δ−xx时,有2εα,02∃δ当200δ−xx时,有2εβ取则当δ−00xxαβαβ±≤+22εε+ε=因此0lim()0.xxαβ→±=这说明当0xx→时,βα+为无穷小量.华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例如，⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++++∞→πππnnnnnn2221211lim1=2)有限个无穷小之乘积仍为无穷小推论：常数与无穷小的乘积是无穷小4)无穷小与极限不为零变量的商是无穷小3)3)有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq证明证明3).3).有界变量与无穷小的乘积是无穷小有界变量与无穷小的乘积是无穷小..证:设001(;),xUx∀∈δMu≤又设,0lim0=→αxx即,0∀ε,02∃δ当002(;)xUx∈δ时,有Mεα≤取{},,min21δδδ=则当00(;)xUx∈δ时,就有=αuαuεε=⋅≤MM故,0lim0=→αuxx即αu是0xx→时的无穷小.华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlqoyx例例..sinlim0xxx→∞=xxysin=华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq其中α为0xx→时的无穷小量.定理定理2.3.2.(2.3.2.(无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系))Axfxx=→)(lim0+=Axf)(,α证:Axfxx=→)(lim0,0,0∃∀δε当δ−00xx时,有ε−Axf)(Axf−=)(α0lim0=→αxx对自变量的其它变化过程类似可证.由此定理易证极限的+、-、×运算华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlqMxf)(22、、无穷大无穷大定义若任给M0,0δδ−00xx一切满足不等式的x,总有则称函数)(xf当0xx→时为无穷大,使对.)(lim0∞=→xfxx若在定义中将①式改为①Mxf)(则记作+∞=∞→→)(lim)(0xfxxx))(lim()(0∞−=∞→→xfxxx)(Xx)(∞→x))(lim(∞=∞→xfx(正数X),记作,))((Mxf−总存在华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq注意注意::1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数),(,cos)(∞+−∞∈=xxxxf=)2(πnf)(∞→∞→n当πn2但0)(2=+ππnf所以∞→x时,)(xf不是无穷大!oxyxxycos=华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例例..证明证明∞=−→11lim1xx证:任给正数G要使1,1Gx−即11,xG−只要取1,Gδ=则对满足δ−10x的一切x,有11Gx−所以.11lim1∞=−→xx11−=xy1xyo华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若)(xf为无穷大,)(1xf为无穷小;若)(xf为无穷小,且,0)(≠xf则)(1xf为无穷大.则关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论定理2.3.3.在自变量的同一变化过程中,说明:华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.当x→0时，x3→０比2x→0要“快”，或者说2x→0比x3→0要“慢”，而sinx→0与x→0“快慢相仿”.我们已经知道，两个无穷小的+、-、×仍旧是无穷小，但两个无穷小的商，却会呈现不同的情况.例如，当x→0时，sinx,2x,x3都是无穷小，但,1sinlim0=→xxx30lim0,2xxx→=+∞=→302limxxx3.无穷小的比较华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq若lim=0,则称β是比α高阶的无穷小,记作β=o(α)； 若lim=∞,则称β是比α低阶的无穷小； 若lim=c≠0,称β与α是同阶的无穷小,记作β=O(α)αβαβαβ若lim=c≠0,则称β是关于α的k阶的无穷小; 若lim=1,则称β与α是等价的无穷小,记作β～αkβααβ设α,β是在同一自变量的变化过程中的无穷小,且α≠0,记lim是在这个变化过程中的极限,可定义如下：βα等价无穷小是同阶无穷小当c=1时的特例华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq根据以上定义，我们知道当x→0时有sinx～x,＝o(x) 因为，所以当x→0时，1-cosx是x的二阶无穷小，或者1-cosx=O().21cos1lim20=−→xxx2x3x当x→0时，sinx～x,tanx～x,1-cosx～221x华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例..)1ln(lim0xxx+→求解:xxx)1ln(lim0+→)1ln(1lim0xxx+=→xxx10)1ln(lim+=→=lne=1结论：x→0时，ln(1+x)～x华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例..1lim0xexx−→求解:xexx1lim0−→令u=ex–1,则x=ln(1+u),)1ln(lim0uuu+=→01lim11ln(1)uuu→==+当x→0时,u→0.结论：x→0时，ex-1～x华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例.lnlnlim,0xaxaaxa→−−求解:令u=x–a,则x=a+u,当x→a时,u→0.axaxax−−→lnlnlimuauauln)ln(lim0−+=→uauu)1ln(lim0+=→aauauu1)1ln(lim0⋅+=→a1=结论：x→a时，lnx-lna～(x-a)/aln(x/a)～x/a-1华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq定理表明，在求两个无穷小之比(即求“”型)极限时，分子、分母均可用适当的等价无穷小代替，从而使计算简便快捷。 00定理若α～α′，β～β′，且lim存在，则lim=limαβ′′αβαβ′′证lim=limαβ)(αααβββ′⋅′′⋅′=lim.αβαααβββ′′=′⋅′′⋅′limlimlim等价无穷小相关定理.华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例求)cos1(sinlim220xxxx+→解：x→0时，sinx～x，222200sinlimlim(1cos)(1cos)xxxxxxxx→→=++011lim1cos2xx→==+有：华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例.).31ln(lim32xxx+⋅∞→求解一:)31ln(lim32xxx+⋅∞→323limxxx⋅=∞→xx3lim∞→==0解二：)31ln(lim32xxx+⋅∞→)31ln(33lim33xxxx+⋅=∞→333)31ln(3limxxxx+=∞→333)31ln(lim3limxxxxx+⋅=∞→∞→=0·1=0华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例..1111lim2nnnn+−∞→求解:21111limnnnn+−∞→)1(lim2+=∞→nnnn=1.1111nnn来代换的等价无穷小但不能用+事实上,若作代换,有21111limnnnn+−∞→211111limnnnn+−+=∞→00lim==∞→n显然,这个结果是错误的.华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq注：若当x→0时,f(x)=O(xα),g(x)=O(xβ),αβ0则f(x)±g(x)=O(xβ),).()()(βα−=xOxgxff(x)·g(x)=O(xα+β).0)(,0)(,0,≠→≠→→BxxgAxxfxβα时设当事实上.0)()()()(,≠⋅→⋅=⋅+BAxxgxxfxxgxfβαβα从而华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq例.当x→0时,tgx–sinx是x的几阶无穷小量?解:由于tgx–sinx=tgx(1–cosx)因tgx~x,而1–cosx=O(x2).故tgx–sinx=tgx(1–cosx)=O(x3).华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq当x→0时,sinx~x,tgx~x,arctgx~x,arcsinx~x,ex–1~x,ln(1+x)~x,2~cos12xx−)0,(,~1)1(≠∈−+kRkkxxk常用的等价无穷小.华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq事实上,当y0时,y=elny.从而,kxxkx1)1(lim0−+→kxexkx1lim)1ln(0−=+→kxxkx)1ln(lim0+=→=10,,~1)1(,≠∈−+kRkkxxk所以华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq注.用符号“”表示“无穷小/无穷小”的极限问题.00用符号“”表示“无穷大/无穷大”的极限问题.∞∞用符号“0·∞”表示“无穷小×无穷大”的极限问题.三种类型的极限值不一定为无穷大、无穷小，甚至极限不一定存在，称为未定型。三种类型可以互化.比如,”“”“”“”“00101100=∞=∞⋅=∞⋅华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq作业作业•习题册P7•书P59总练习题5（1，4，5）