龙游中学高二数学竞赛辅导1----函数值域最值问题

1龙游中学高二数学竞赛辅导1----函数值域最值问题一、基本函数的值域：1、一次函数）（0abkxy的定义域为R，值域为R；2、二次函数y=ax2+bx=c(a不为0)的最值：①a0，当x=2ba时，2max44acbya；②a0，当x=2ba时，2min44acbya3、反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为}0/{yy；4、指数函数)1,0(aaayx的定义域为R，值域为［0，＋∞）；5、对数函数)1,0(logaaxya的定义域为［0，＋∞），值域为R；6、函数y=sinx、y=cosx的值域是1,1；8、函数tan,(xk)2yx的值域为R。二、两个重要函数1、一次分式函数(0,)axbycadbccxd的图象和性质：（1）定义域：{|}dxxc（2）值域：{|}ayyc（3）单调性：单调区间为(,),(,+)ddcc（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线,daxycc，对称中心为点(,)dacc（5）奇偶性：当0ad时为奇函数。（6）图象：如图所示。2、对号函数byaxx的图象和性质：1°对号函数(0,0)byaxabx的图象和性质：（1）定义域：{|0}xx（2）值域：{|2,2}yyabyab或（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间[,+),(,]bbaa上是增函数；在区间(0,],[,0)bbaa上是减函数（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。2°．函数(0,0)byaxabx的图象和性质：（1）定义域：{|0}xx（2）值域：R（3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)和(,0)上是增函数。（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线（6）图象：如图所示。3°．函数(0)byaxax的图象（如图所示）和性质（略）：三、一些常见类型的函数值域1、二次函数的值域问题例1、.当82x时，求)2(log)4(log)(22xxxf的最大值和最小值.【解析】2log3log)1)(log2(log)2(log)4(log2222222xxxxxxy8642-2-10-55ac-dcO28223222412341)23(2332182log3max23min222xytxyttttytxtx，此时时，当，此时时，当，，，令例2、设函数f（x）=x2+|x－2|－1，x∈R.，求函数f（x）的最小值.解：当x≥2时，f（x）=x2+x－3，此时f（x）min=f（2）=3.当x＜2时，f（x）=x2－x+1，此时f（x）min=f（21）=43.总之，f（x）min=43.例3、根据下列条件，求实数a的值。（1）函数221yxaxa在区间0,1上有最大值2；（2）函数243yaxax在区间4,2上有最大值7；（3）函数2211yaxax在区间3,22上有最大值3。解：（1）222211yxaxaxaaa①若0a则max0121yfaa符合题意②若01a则2max15122yfaaaa均不符题意（舍）③若1a则max112133yfaaa符合题意∴综上所述，1a或3a（2）2243234yaxaxaxa①若0a则3y不符题意（舍）②若0a则max12163473yfaaa符合题意③若0a则max23471yfaa符合题意∴综上所述，1a或13a（3）2222121211124aayaxaxaxaa①若max39323132423yfaaa此时对称轴74x符合题意②若max12442132yfaaa此时对称轴0x符合题意③若2max2121113242aayfaaa此时对称轴2x不符题意∴综上所述，23a或12a3例4、（2002年全国）已知a为实数，函数21fxxxaxR。（1）讨论fx的奇偶性；（2）求fx的最小值。解：（1）当0a时fxfxfx为偶函数当0a时2faaa，221faaafafx不具有奇偶性（2）当xa时，213()()24fxxa①若12a，则min13()()24fxfa;②若12a，则2min()()1fxfaa（2）当xa时，213()()24fxxa①若12a，则2min()()1fxfaa;；②若12a，则min13()()24fxfa综上所述，当12a时，min3()4fxa；当1122a时，2min()1fxa；当12a时，min3()4fxa。即2min31,42111,2231,42aafxaaaa2、方程有解法题型例1、求函数312xyx的值域（法一）反解法：312xyx的反函数为213xyx，其定义域为{|3}xRx，∴原函数312xyx的值域为{|3}yRy。（法二）分离变量法：313(2)773222xxyxxx，∵702x，∴7332x，∴函数312xyx的值域为{|3}yRy。变式1：求函数312xyx（1x）的值域变式2：求函数213xxeey的值域4例2、求函数22221xxyxx的值域；解：判别式法：∵210xx恒成立，∴函数的定义域为R。由22221xxyxx得：2(2)(1)20yxyxy①①当20y即2y时，①即300x，∴0xR②当20y即2y时，∵xR时方程2(2)(1)20yxyxy恒有实根，∴△22(1)4(2)0yy，∴15y且2y，∴原函数的值域为[1,5]。例3、求函数1sin2cosxyx的值域解：（法一）方程法：原函数可化为：sincos12xyxy，∴21sin()12yxy（其中221cos,sin11yyy），∴212sin()[1,1]1yxy，∴2|12|1yy，∴2340yy，∴403y，∴原函数的值域为4[0,]3。例4、在20x条件下，求2)sin1()sin1(sinxxxy的最大值．解析：设xtsin，因0(x，)2，故10t，则2)1()1(ttty即0)12()1(2ytyty因为10t，故01y，于是0)1(4)12(2yyy即81y将81y代入方程得0[31t，]1，所以81maxy注意：因0仅为方程0)12()1(2ytyty有实根0[t，]1的必要条件，因此，必须将81y代入方程中检验，看等号是否可取．3、基本不等式法（对号函数）例1、求函数2211()212xxyxx；值域.解：2(21)1211111(21)2121212212xxxxyxxxxxx，∵12x，∴210x，∴，1111111(21)2(21)2221222122yxxxx当且仅当11(21)221xx时，即122x时等号成立。∴122y，∴原函数的值域为1[2,)2。5例2、已知二次函数2()()fxaxbxcba，对于任意x都有()0fx，求abcba的最小值.解：由条件可得240,0bacba由此可得20,4bcca，所以24(,,)bababcaFabcbaba=2224444aabbaba=244()44bbaaba，令1bta，所以2244(1)6(1)9(,,)444(1)ttttFabctt=1919[16][2(1)6]4141tttt=11234等号当且仅当911tt且24bca即4t，即4ba，24bca时取得.例3、求函数xxay)(22(ax||)的最值．解析：令cosax，则cossincossin2322aaay又令cossin2t，则222242cos2sinsin21cossint274)3cos2sinsin(213222932932t即有33932932aya所以3max932ay，3min932ay注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等”例4、(2007广东文、理)已知a是实数,函数2()223fxaxxa.如果函数()yfx在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.解法1:222230(21)32axxaxax,题意转化为知[1,1]x求23221xax的值域,令32[1,5]tx得276att转化为勾函数问题.由于2222[1,)(,)(,1]2222x所以[1,32)(32,32)(32,5]t，从而7[27,6)(6,8]tt，76[276,0)(0,2]tt所以237(,][1,)726att6解法2：若0a,则()23fxx,令3()0[1,1]2fxx,不符题意,故0a………2分当()fx在[-1,1]上有一个零点时,此时48(3)01112aaa或(1)(1)0ff………6分解得372a或15a…………………………………………………………………8分当()fx在[-1,1]上有两个零点时,则48(3)01112(1)(1)0aaaff………………………………10分7解得373722112215aaaaaa或或或即3711522aaa或或………………12分综上,实数a的取值范围为371(,][,)22.……………………………………14分4、换元法[换元必换限]（无理函数、高次函数等）例1、求41yxx；的值域换元法（代数换元法）：设10tx，则21xt，∴原函数可化为2214(2)5(0)ytttt，∴5y，∴原函数值域为(,5]。注：总结yaxbcxd型值域，变形：22yaxbcxd或2yaxbcxd例2、求21yxx；的值域解：三角换元法：∵21011xx，∴设cos,[0,]x，则cossin2sin()4y∵[0,]，∴5[,]444，∴2sin()[,1]42，∴2sin()[1,2]4，∴原函数的值域为[1,2]。例3、求函数xxy53的值域.（形如“ymaxbncxdac±()0”的函数）解析：法1：解：530503xxx得由∴函数定义域为[3,5]2222(3)(5)221(4)yxxx又当4x时，2max4y，当35x或时，2min2y∴224y0y∴22y∴所给[2,2]函数的值域为法2：530503xxx得由∴函数定义域为[3,5]，