实变函数期末考试卷A及参考答卷

12011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）题号分数一二三四五六七八总分评卷人复核人考生信息栏院（系）班级姓名学号………………………………………………装……………………订……………………线……………………………………试卷类别：闭卷考试用时：120分钟考试时间：2012年01月04日考试地点：文501、502注意事项1、学生的院（系）别、专业、班级、姓名、学号必须填写在考生信息栏内指定的位置。2、学生在考试之前必须填写考试时间和地点。3、答题字迹要清楚，并保持卷面清洁。试卷共8页第1页2考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。考生签名：试卷共8页第2页3实变函数期末考试卷(A)2009级本科1、2班用考试时间2012年01月04日一填空题（每小题3分，满分24分）1我们将定义在可测集qE上的所有L可测函数所成的集合记为ME.任取fME，都可以确定两个非负可测函数：,0,0,0.fxxEffxxEf当时当时和0,0,,0.xEffxfxxEf当时当时分别称为f的正部和负部。请你写出,,fxfxfx和fx之间的关系：fx，fx。2上题ME中有些元素被称为非负简单函数，指的是：12kEEEE是有限个互不相交的可测集的并集，在iE上ixc（非负常数）（1,2,,ik）.在E上的L积分定义为：Exdx，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说是L可积的。3若fME是非负函数，则它的L积分定义为：Efxdx，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L可积的。4ME中的一般元素f称为是积分确定的，如果f和f，即Efxdx和Efxdx的值；但只有当时才能说f是L可积的，这时将它的积分定义为：Efxdx。5从ME中取出一个非负函数列nfx，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就得到列维定理的结论：。6设f和1,2,nfn都是ME中的可测函数，满足limnnfxfxae于E或nff两个条件之一。如果再添上下例两个条件之一：试卷共8页第3页4或，就可得到勒贝格控制收敛的结论：（1）；（2）。7富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集,pqAB上的笛卡尔积PqAB上的可测函数,fPfxy的积分可化为累次积分,,ABABBAfPdPdxfxydydyfxydx的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：（1）；（2）。两个累次积分都存在且相等是fP在AB上可积的条件，但不是条件。8斯蒂尔切斯积分的定义是：。二多项选择题下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分）[]1定义在pE上的实函数fx的正部fx和负部fx的取值情况有：（A）xE，fx与fx不同时取正值，但可能同时为零；（B）xE，fx与fx可能同时取正值，也可能同时为零；（C）E上任意两个非负实函数都构成E上第三个实函数的正部与负部；（D）E上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E上第三个实函数的正部与负部。[]2设12kEEEE是q中有限个互不相交的可测集的并集，函数在iE上的值恒等于常数ic（1,2,,ik），则在E上L可积的充要条件有：（A）mE；（B）当imE时0ic；（C）12,,,kEEE均为测度有限集；（D）每个iicmE均为有限数。[]3ME中的非负函数f都是积分确定的，这是因为：试卷共8页第4页5（A）Efxdx；（B）Efxdx和Efxdx都是有限数；（C）00Efxfxdx；（D）0.Efxdx[]4,ab上的有界变差函数fx的任一个变差11niiifxfx01naxxxb都不会超过全变差baVf，而且当12,,axax时有12xxaaVfVf.由这两条结论可以推知：（A）fx在,ab上的振幅sup,,bafxfyxyabVf；（B）,xab有bafxfaVf；（C）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；（D）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。[]5关于,ab上的绝对连续函数Fx及其导数，下列结论正确的有：（A）用每个在,ab上L可积的函数fx都可构造一个绝对连续函数xaFxftdt，满足Fxfxae于,ab；（B）每个绝对连续函数Fx都在,ab上几乎处处有可积的导函数Fx，而且满足牛氏公式baFxdxFbFa；（C）每个在,ab上几乎处处有导数的函数Fx都是绝对连续函数，同时满足牛氏公式baFxdxFbFa；（D）在,ab上几乎处处有导数的有界函数Fx不一定连续，但Fx本身一定可积。而它的导函数Fx就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。三设qE满足：0，闭集FE使*mEF.试证明E是可测集。（8分）试卷共8页第5页6四我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集qE上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E上一列简单函数的极限函数.现在请你用这个定义证明：E上两个可测函数,fxgx的乘积fxgx还是E上可测函数。（7分）五设nfx是qE上的L可积函数列，并且正项级数1nnEfxdx收敛。试证明函数项级数1nnfx几乎处处收敛，它的和函数1nnSxfx在E上L可积，而且满足逐项积分公式：1nnEESxdxfxdx.（12分）试卷共8页第6页7六设f是,ab上的L可积函数，证明0，存在,ab上的连续函数g使,abfxgxdx.（12分）七设kfx是pE上非负可测函数列,limkkfxfx,并且12kfxfxfx.若有某个0kfx在E上L上可积。试证明fx也在E上可积，并且limkEEkfxdxfxdx.（10分）试卷共8页第7页8八设fx在1E上L可积,0Efxdxa,试证明：0,1，存在E的可测子集e使efxdx（12分）试卷共8页第8页9实变函数期末考试卷(A)参考答卷2009级本科1、2班用考试时间2012年01月04日一填空题（每小题3分，满分24分）1我们将定义在可测集qE上的所有L可测函数所成的集合记为ME.任取fME，都可以确定两个非负可测函数：,0,0,0.fxxEffxxEf当时当时和0,0,,0.xEffxfxxEf当时当时分别称为f的正部和负部。请你写出,,fxfxfx和fx之间的关系：fxfxfx，fxfxfx。2上题ME中有些元素被称为非负简单函数，指的是：12kEEEE是有限个互不相交的可测集的并集，在iE上ixc（非负常数）（1,2,,ik）.在E上的L积分定义为：1122kkExdxcmEcmEcmE，这个积分值可能落在区间0,中，但只有当Exdx时才能说是L可积的。3若fME是非负函数，则它的L积分定义为：sup0EEfxdxxdxExfx是简单函数,且有，这个积分值可能落在区间0,中，但只有当Exdx时才能说f是L可积的。4ME中的一般元素f称为是积分确定的，如果f和f至少有一个可积，即Efxdx和Efxdx的值不全为；但只有当ff和都可积时才能说f是L可积的，这时将它的积分定义为：EEEfxdxfxdxfxdx.5从ME中取出一个非负函数列nfx，则法图引理的结论是不等式：limlimnnEEnnfxdxfxdx；如果再添上条件12nfxfxfx和limnnfxfx就得到列维定理的结论：limnEEnfxdxfxdx.6设f和1,2,nfn都是ME中的可测函数，满足limnnfxfxae于E或nff两个条件之一。答卷共6页第1页10如果再添上下例两个条件之一：nLFxfxFxaeE存在可积函数使于或,nmEMnfxFxaeE而且存在正数使对任何自然数有于，就可得到勒贝格控制收敛的结论：（1）lim0nEnfxfxdx；（2）limnEEnfxdxfxdx.7富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集,pqAB上的笛卡尔积PqAB上的可测函数,fPfxy的积分可化为累次积分,,ABABBAfPdPdxfxydydyfxydx的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：（1）fAB在上非负可测；（2）fABL在上可积。两个累次积分都存在且相等是fP在AB上可积的必要条件，但不是充分条件。8斯蒂尔切斯积分的定义是：01,,,:,nfxxababTaxxxb设都是上的有限函数,对作分划1,iiixx取介点作和数11(Stieltjes niiiifxx称为和数),,0TT如果不管是如何分法也不管介点是如何取法当时此和数都趋于一个常,,,,fxabxSfxabx数就称在上关于是可积的并称此极限值为在关于,.baSfxdx的积分记作二多项选择题下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分）[AD]1定义在pE上的实函数fx的正部fx和负部fx的取值情况有：（A）xE，fx与fx不同时取正值，但可能同时为零；（B）xE，fx与fx可能同时取正值，也可能同时为零；（C）E上任意两个非负实函数都构成E上第三个实函数的正部与负部；（D）E上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E上第三个实函数的正部与负部。答卷共6页第2页11[BD]2设12kEEEE是q中有限个互不相交的可测集的并集，函数在iE上的值恒等于常数ic（1,2,,ik），则在E上L可积的充要条件有：（A）mE；（B）当imE时0ic；（C）12,,,kEEE均为测度有限集；（D）每个iicmE均为有限数。[C]3ME中的非负函数f都是积分确定的，这是因为：（A）Efxdx；（B）Efxdx和Efxdx都是有限数；（C）00Efxfxdx；（D）0.Efxdx[ABCD]4,ab上的有界变差函数fx的任一个变差11niiifxfx01naxxxb都不会超过全变差baVf，而且当