运用导数证明不等式专题讲座

运用导数证明不等式专题讲座深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰导言导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1：x0时,求证；x－ln(1+x)＜0证明：设f(x)=x－ln(1+x)(x0),则f(x)=∵x0,∴f(x)0,故f(x)在（0，+∞）上递减，所以x0时,f(x)f(0)=0，即x－ln(1+x)0成立。2x22x2'2x1x2x21：f(x)=x3－x,x1,x2∈[－1,1]时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤证明：∵f(x)=x2－1,x∈[－1,1]时,f(x)≤0,∴f(x)在[－1,1]上递减.故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)=最小值为f(1)=,即f(x)在[－1,1]上的值域为；所以x1,x2∈[－1,1]时，|f(x1)|,|f(x2)|,即有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|变式练习43232322[,]332323224333例2、求证：n∈N*,n≥3时，2n2n+1证明：要证原式，即需证：2n－2n－10,n≥3时成立设f(x)=2x－2x－1(x≥3),则f(x)=2xln2－2(x≥3),∵x≥3,∴f(x)≥23ln3－20∴f(x)在[3，+∞上是增函数，∴f(x)的最小值为f(3)=23－2×3－1=10所以，n∈N*,n≥3时，f(n)≥f(3)0,即n≥3时,2n－2n－10成立，附：通过直接作差构造函数证明。2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。2、已知，求证：分析：欲证，只需证函数和在上单调递减即可。证明：令，其中则，而所以在上单调递减，即所以；(0,)2xsintanxxxsintanxxx()sinfxxx()tangxxx(0,)2()sinfxxx(0,)2x/()cos1fxx(0,)cos1cos102xxx()sinfxxx(0,)2()sin(0)0fxxxfsinxx变式练习令，其中则，所以在上单调递减，即所以。综上所述，()tangxxx(0,)2x/221()1tan0cosgxxx()tangxxx(0,)2()tan(0)0gxxxgtanxxsintanxxx变式练习【例3】证明：对任意的正整数n，不等式都成立.分析：只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。【绿色通道】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有即，∴对任意正整数n，取附：通过换元后作差构造函数证明。3211)11ln(nnnxn10x32)1ln(xxx)1ln()(23xxxxh)1ln()(23xxxxh1)1(31123)(232xxxxxxxh),0(x)(xh),0(),0(x，0)0()(hxh0)1ln(23xxx32)1ln(xxx3211)11ln(),0(1nnnnx，则有3、已知：，求证；证:令，由x0，∴t1，原不等式等价于令f(t)=t-1-lnt，∵当时，有，∴函数f(t)在递增∴f(t)f(1)即t-1lnt另令，则有∴g(t)在上递增，∴g(t)g(1)=0∴综上得变式练习)0(xxxxx11ln11tx111ln11ttt11txttf11)(),1(t0)(tf),1(ttttg11ln)(01)(2tttgtt11lnxxxx11ln11【例4】已知：a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.附：对含有两个变量的不等式，根据“相同结构”可以构造辅助函数。bbaalnlnxxln【例4】已知：a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(x)=xlna－alnx(x＞e),则f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(x)＞0∴函数f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna-alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.xaxa附：对含有两个变量的不等式，可构造出以其中一个变量为自变量的函数。4、已知求证：分析：0,,(1)(1)0mnabRab且()()nnmmmnabab变式练习()()ln()ln()ln()ln()nnmmmnnnmmmnnnmmababababmabnabln()ln()()()nnmmababnmfnfmln()()0xxabfxx在（，）上是减函数mn0证明：令则所以，又因为，所以即变式练习ln()()(0)xxabfxxx/22lnlnln()(lnln)()ln()()()xxxxxxxxxxxxxxaabbxabxaabbabababfxxxab22lnlnlnln0()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxabababababababababxabxabln()()0xxabfxx在（，）上是减函数0mn()()fnfmln()ln()nnmmababnmln()ln()ln()ln()nnmmnnmmmnmabnababab即()()nnmmmnabab5、若,证明:解：要证：,需证：,设，则需证要证∵时，。∴在上在上是增函数∴∴在上2021xx1212tantanxxxx变式练习2021xx1212tantanxxxx2021xx0tantan2121xxxx22tantan)(xxxxxf2021xx0)(xf22tan11)(xxxf2021xx22tan0xx22tan11xx2021xx0)(xf)(xf2021xx0)(xf2021xx1212tantanxxxx0)0(f6、已知函数g(x)=xlnx,设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：∵，则，又设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.构造辅助函数：设，则，当0xa时，因此F(x)在(0,a)内为减函数当xa时，因此F(x)在(a,+∞)上为增函数。2ba变式练习()lngxxx'()ln1gxx()()()2()2axFxgagxg'''()()2[()]lnln22axaxFxgxgx'()0Fx'()0Fx因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即设,则当x0时,,因此G(x)在(0,+∞)上为减函数因为G(a)=0,ba,所以G(b)0.即220bagbgag()()()ln2GxFxxa'()lnlnln2lnln()2axGxxxax()()2()()ln22abgagbgba从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)，变式练习