高考中的平面向量问题

第1页共4页高考中的平面向量问题天津四中李晖近几年来，平面向量成为高考考查的重点，分值逐年增加。考查地重点一方面是平面向量的基本概念及基本运算能力；另一方面平面向量的坐标运算和平面向量的数量积的概念、性质及运算律也是考查的重点。向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究与向量相关的问题时，一定要结合图形进行分析、判断和求解，这是研究平面向量问题的重要方法和技巧。1．(2006年湖南卷·理15)如图1,ABOM//,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OByOAxOP,则x的取值范围是__________;当21x时,y的取值范围是__________.解析：依题意，在射线OM上取ABON由平行四边形法则，可得到OBnONmOP，其中，,0m1,0n则OBnmOAmOBnOAOBmOBnABmOP令nmymx,，则OByOAxOP，由此可得0,x当21x时，23,2121ny说明：本题主要考查平面向量的基本定理，同时，要利用实数与向量的积的概念结合图形分析实数m和n的取值范围，从而求出x和y的取值范围。2．(2006年陕西卷·理9)已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)·BC→=0且AB→|AB→|·AC→|AC→|=12,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析：0BCACACABAB，可知0ACBCACABBCAB由向量的数量积的定义可知，0coscosACCBCACABBBCAB，得到BBCcos+CBCcos=0所以，cosC-cosB=0,其中B,C为△ABC内角，则∠C=∠BOABMP图1ABC第2页共4页故△ABC为等腰三角形；又由oAAACABACABACACABAB6021cos2121综上所述，可知△ABC为等边三角形.说明：本题主要考查向量的数量积和向量的夹角，在两个向量的数量积的运算中一定要注意夹角，必须是两个向量有共同的起点时所构成的角.3．(2006年浙江卷·理13)设a，b，c满足0cba，cba，ba，若1a，则222cba的值为.解析：[方法1]由cba，可知0cba即0cba由此可得022bababa，故1ba；又22222222babbaabac，故4222cba.[方法2]依题意构图如右，令aOA，bOB，其中,OBOA作平行四边形ABCDcbaOBOAOC,即cCO，baOBOABA由于ba，则∠AOB=90O，即平行四边形ABCD为矩形，又由于cba，则BACO,所以四边形ABCD为正方形。∴1ba，22abac，从而4222cba.说明：主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，要求考生掌握平面向量的和，差，数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算．4．(2003年天津卷·理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足,0,ACACABABOAOP，则点P的轨迹一定通过△ABC的()(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心解析：（方法1）当λ0时，因为0ACACABABOAOPAP所以，ABACABACAPABAPABAPABAP1,cosOABCabcba第3页共4页1,cosABACABACAPACAPACAPACAP得到ACAPABAP,cos,cos，所以ACAPABAP,,因为A、B、C三点不共线，所以AP平分∠BAC得到点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为B(方法2)11111,,APACABACACACABABAB则其中，111ACAB则动点P满足,0,1APOAOP.所以，点P的轨迹是由点A出发的射线AP1.由于111ACAB，111PCAB且1AB∥11DC，所以AP1平分∠BAC.因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心.故答案为B.5．（2002年—文(12)，理(10)）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点)1,3(A，)3,1(B，若点C满足OBOAOC，其中R,，且1，则点C的轨迹方程为（）．（A）5)2()1(22yx（B）01123yx（C）02yx（D）052yx解析：[方法1]设),(yxC，由题意)3,1()1,3(),(yx)3,3(．于是33yx，①＋②×2得5)(52yx．于是点C的轨迹方程为052yx．[方法2]已知OBOA,不共线，有OBOAOC，且其中1．因此C点在BA,两点确定的直线上，利用两点式直线方程公式立即有313131xy，即052yx．故选D.6.(2006年辽宁卷·理12)设(0,0)O,(1,0)A,(0,1)B,点P是线段AB上的一个动点,APAB,若OPABPAPB,则实数的取值范围是()ABCB1C1PP1O第4页共4页(A)112(B)2112(C)12122(D)221122解析：如右图所示设P(x,1-x)(0≤x≤1),则由OPABPAPB得到(x,1-x)(-1,1)≥(1-x,x-1)(-x,x),整理得：2x2≤1,所以220x，又由APAB，即(x-1,1-x)=λ(-1,1)，故1,2211x，故选择B.说明：从向量的定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用，突出数形结合的数学思想。在解决有关向量的问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会运用向量处理问题的优越性；二是向量的坐标运算体现了数与性的相互转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用.xyOABP(x,1-x)