必修5解三角形和数列测试题及答案

1必修五解三角形和数列综合练习解三角形一、选择题1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，则角A等于()(A)6π(B)3π(C)32π(D)65π2．在△ABC中，给出下列关系式：①sin(A＋B)＝sinC②cos(A＋B)＝cosC③2cos2sinCBA其中正确的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)33．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，sinA＝32，sin(A＋C)＝43，则b等于()(A)4(B)38(C)6(D)8274．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，sinC＝32，则此三角形的面积是()(A)8(B)6(C)4(D)35．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，则此三角形的形状是()(A)直角三角形(B)正三角形(C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形二、填空题6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，B＝45°，则角A＝________.7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝19，则角C＝________.8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cosA＝________.10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC上的中线AD的长为________.三、解答题11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°.(1)求c；(2)求sinB.12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.(1)求〈a，b〉；(2)求|a－b|.213．设△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA于D.(1)求高线BD的长；(2)求△OAB的面积.14．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＞sin2C，求证：C为锐角.(提示：利用正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，其中R为△ABC外接圆半径)15．如图，两条直路OX与OY相交于O点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY上的A、B两点，|OA|＝3km，|OB|＝1km，两人同时都以4km/h的速度行走，甲沿XO方向，乙沿OY方向.问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cabCB2coscos.(1)求角B的值；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积.3数列一、选择题1．在等差数列{an}中，已知a1＋a2＝4，a3＋a4＝12，那么a5＋a6等于()(A)16(B)20(C)24(D)362．在50和350间所有末位数是1的整数和()(A)5880(B)5539(C)5208(D)48773．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)不能确定4．在等差数列{an}中，如果前5项的和为S5＝20，那么a3等于()(A)－2(B)2(C)－4(D)45．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2007＋a2008＞0，a2007·a2008＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是()(A)4012(B)4013(C)4014(D)4015二、填空题6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.7．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和S20＝________.8．数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn＝n2－3n＋1，则an＝________.9．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则1074963aaaaaa＝________.10．设数列{an}是首项为1的正数数列，且(n＋1)a21n－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.三、解答题11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝4，求S13.12．已知数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1＋1)(n∈N*)在函数f(x)＝2x＋1的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)设cn＝Sn，求数列{cn}的前n项和Tn.13．已知数列{an}的前n项和Sn满足条件Sn＝3an＋2.(1)求证：数列{an}成等比数列；(2)求通项公式an.414．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？15．已知函数f(x)＝412x(x＜－2)，数列{an}满足a1＝1，an＝f(－11na)(n∈N*).(1)求an；(2)设bn＝a21n＋a22n＋…＋a212n，是否存在最小正整数m，使对任意n∈N*有bn＜25m成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由.16．已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q＝f(P).设P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，Pn＝f(Pn－1)，….如果存在一个圆，使所有的点Pn(xn，yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn(xn，yn)的一个收敛圆.特别地，当P1＝f(P1)时，则称点P1为映射f下的不动点.若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，21y).(1)求映射f下不动点的坐标；(2)若P1的坐标为(2，2)，求证：点Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一个半径为2的收敛圆.5解三角形1．B2．C3．D4．C5．B提示：5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝212222bcacb，所以∠A＝60°.因为sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.所以sin(B－C)＝0，故B＝C.故△ABC是正三角形.二、填空题6．30°7．120°8．5249．5510．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c＝13；(2)由正弦定理，得sinB＝13392.12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，故|a－b|＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22OA，同理得232,145ABOB.由余弦定理，得,222cos222ABOAOBABOAA所以A＝45°.故BD＝AB×sinA＝229.(2)S△OAB＝21·OA·BD＝21·29·229＝29.14．由正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，6得CRcBRbARasin2,sin2,sin2.因为sin2A＋sin2B＞sin2C，所以222)2()2()2(RcRbRa，即a2＋b2＞c2.所以cosC＝abcba2222＞0，由C∈(0，π)，得角C为锐角.15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，则|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以t＝4h时，P与O重合.故当t∈[0，4]时，|PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°；当t＞4h时，|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.故得|PQ|＝724482tt(t≥0).(2)当t＝h4148224时，两人距离最近，最近距离为2km.16．(1)由正弦定理RCcBbAa2sinsinsin，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以等式cabCB2coscos可化为CRARBRCBsin2sin22sin2coscos，即CABCBsinsin2sincoscos，2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，故cosB＝－21，所以B＝120°.(2)由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－2ac×cos120°，即a2＋c2＋ac＝13又a＋c＝4，解得31ca，或13ca.所以S△ABC＝21acsinB＝21×1×3×23＝433.7数列一、选择题1．B2．A3．A4．D5．C二、填空题6．3·2n－37．1808．an＝)2(,42)1(,1nnn9．7610．an＝n1(n∈N*)提示：10．由(n＋1)a21n－na2n＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，因为an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即11nnaann，所以nnnaaaaaaannn11322112312.三、解答题11．S13＝156.12．(1)∵点(an，an＋1＋1)在函数f(x)＝2x＋1的图象上，∴an＋1＋1＝2an＋1，即an＋1＝2an.∵a1＝1，∴an≠0，∴nnaa1＝2，∴{an}是公比q＝2的等比数列，∴an＝2n－1.(2)Sn＝1221)21(1nn.(3)∵cn＝Sn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝nn21)21(2＝2n＋1－n－2.13．当n＝1时，由题意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；当n≥2时，因为Sn＝3an＋2，所以Sn－1＝3an－1＋2；两式相减得an＝3an－3an－1，即2an＝3an－1.由a1＝－1≠0，得an≠0.所以231nnaa(n≥2，n∈N*).由等比数列定义知数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝23的等比数列.所以an＝－(23)n－1．14．(1)设第n年所需费用为an(单位万元)，则a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24．(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则y＝50n－[12n＋2)1(nn×4]－98＝－2n2＋40n－98．8由题意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－51＜n＜10＋51.∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利.(3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴当n＝10时，y最大＝102．即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).15．(1)由an＝f(－11na)，得411221nnaa(an＋1＞0)，∴{21na}为等差数列，∴21na＝211a＋(n－1)·4．∵a1＝1，∴an＝341n(n∈N*).(2)由1815411412122221nn