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专题16整式的乘除知识网络重难突破知识点一整式乘法单项式×单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘法易错点：典例1（2018·江苏中考真题）计算：x•（﹣2x2）3=_____．【答案】﹣4x7【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．详解：x•（﹣2x2）3=x•（﹣8x6）=﹣4x7．故答案为：﹣4x7．典例2（2019·永济市期末）如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______.【答案】－32x8y6【详解】由题意可得，解得m=2，n=2，则这两个单项式的积为：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.故答案为－32x8y6.【点睛】本题考查了同类项和同底数幂的乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.典例3（2019·宝塔区期末）有理数a，b，满足，=________；【答案】6【详解】∵|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，∴a-b-2=0，2a+2b-8=0，解得：a=3，b=1，则（-ab）•（-b3）•（2ab）=a2b5=×9×1=6．故答案为：6典例4（2017·崇仁县期末）如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn=_____．【答案】12【解析】，∴n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，∴mn=12．故答案为：12．单项式×多项式单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加【单项式乘以多项式注意事项】1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。典例1（2018·广西中考真题）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=_____．【答案】2【详解】（a﹣1）（b﹣1）=ab﹣a﹣b+1，当ab=a+b+1时，原式=ab﹣a﹣b+1=a+b+1﹣a﹣b+1=2，故答案为：2．典例2若(x3＋ax2－x2)·(－8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为___．【答案】1【详解】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）=，∵运算结果中不含x6项，∴(-8a+8)=0，∴a=1，故答案为：1．典例3（2019·苏州市期中）计算：2m2•(m2+n−1)=____．【答案】2m4+2m2n-2m2【详解】2m2•(m2+n−1)=2m4+2m2n-2m2故答案为：2m4+2m2n-2m2典例4（2019·卧龙区期末）若ab2=-6，则-ab(a2b5-ab3-b)的值为_________．【答案】246【详解】原式=-a3b6+a2b4+ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2，当ab2=-6时，原式=-（-6）3+（-6）2-6=216+36-6=246，故答案为：246．多项式×多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．【多项式乘以多项式注意事项】多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。典例1（2017·宜城市期末）若x2+mx﹣n=（x+2）（x﹣5），则m=_____，n=_____．【答案】﹣310【解析】（x+2）（x﹣5）=x2-3x-10，所以m=-3，n=10.典例2已知，则______．【答案】180.【详解】解：，，典例3（2017·邵阳市期中）多项式的展开结果中的的一次项系数为3，常数项为2，则的值为_________.【答案】－6【解析】详解：（x-m）（x-n）=x2-（m+n）x+mn，由题意得，m+n=-3，mn=2，则m2n+mn2=mn（m+n）=-6，故答案为：-6．典例4（2018·厦门市期中）（2x2﹣3x﹣1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为_____．【答案】【详解】解：原式＝2x3+2bx2﹣3x2﹣3bx﹣x﹣b由于不含x2项，∴2b﹣3＝0，∴b＝，故答案为：．特殊多项式相乘（考点）①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2【扩展】扩展一(公式变化)：++2ab扩展二：+=2(+)-=4ab扩展三：++=-2ab-2ac-2bc典例1已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝_____．【答案】9000【详解】x＝y+95x-y=95x2﹣2xy+y2﹣25=（x-y）2-25=952-52=（95-5）（95+5）=90×100=9000典例2若，，则．【答案】22【解析】详解:∵，，∴=36-14=22.故答案为：22.典例3已知，，（1）则____；（2）则___．【答案】；【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9，把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13；（a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=±．典例4若，则________________.【答案】8【详解】解：∵可化为，化为∴原式==32-1=8典例5若，则__________．【答案】【解析】试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，当m+n=3，mn=22，原式=32-4×2=1．∴m-n=±1故答案为±1．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2【运用平方差公式注意事项】1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．典例1设S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1=______．【答案】232．【详解】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)=(2﹣1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=(22﹣1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)=232﹣1，故S+1=232，故答案为：232．典例2计算:若，，则的值为________.【答案】12【详解】解：(a+1)2﹣(b﹣1)2=(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2)∵a+b=4，a﹣b=1∴原式=4×3=12.典例3计算：20182－2017×2019＝____．【答案】1【详解】原式，故答案为：1典例4，则______．【答案】【详解】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，开方得：a+b=±10，故答案为：±10典例5计算：=_____.（结果中保留幂的形式）【答案】216﹣1．【详解】原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1．故答案为：216﹣1．知识点二整式除法单项式÷单项式一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。典例1=____________【答案】【详解】原式＝a6•a6b2÷a2b=a12b2÷a2b=a10b，故答案为：a10b.典例26a2x3·（_________）=36a4x5-24a3x4+18a2x3．【答案】6x2a2-4ax+3【解析】(36a4x5-24a3x4+18a2x3)÷6a2x3=36a4x5÷6a2x3-24a3x4÷6a2x3+18a2x3÷6a2x3=6a2x2-4ax+3，故答案为6a2x2-4ax+3.典例3（2017·上海民办常青中学初一期中）计算：__________；【答案】.【详解】，===.多项式÷单项式一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.【解题思路】多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决）。典例1计算：（）__________．（）__________．【答案】【解析】因为，，故答案为:，.典例2（2017·重庆市第七十一中学校初二期中）已知一个三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，则这条边上的高为___________.【答案】2x－y【解析】∵三角形的面积为8x3y2－4x2y3，一条边长为8x2y2，∴这条边上的高为2(8x3y2－4x2y3)÷8x2y2=16x3y2÷8x2y2－8x2y3÷8x2y2=2x－y，故答案为：2x－y.典例3已知为正整数且能被整除，则的最大值为______．【答案】890.【详解】由题意得为整数，且，能被整除，的最大值为890.故答案为：890典例4如果2x2y•A=6x2y2﹣4x3y2，则A=____________．【答案】3y﹣2xy．【详解】∵2x2y•A＝6x2y2﹣4x3y2，∴A＝(6x2y2−4x3y2)÷2x2y＝3y−2xy.故答案为：3y−2xy.典例5已知长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a，则长方形的周长为____________。【答案】6ab+2【详解】∵长方形的面积为(6a2b-4a2+2a)，宽为2a，∴长方形的长为：3ab-2a+1∴长方形的周长为：2×（3ab-2a+1+2a）=2×(3ab+1)=6ab+2故本题答案为：6ab+2巩固训练一、选择题（共10小题）1．（2018·高新区期末）的个位数是A.4B.5C.6D.8【答案】C【详解】3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4=16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选：C【名师点睛】本题考核知识点：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．2．（2019·长兴县期中）下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【解答】①.故错误.②.故错误.③.正确.④故错误.故选C.【点评】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.3．（2018·邢台市期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（）A．，B．，4C．3，D．3，4【答案】A【详解】根据题意得，a，b的值只要满足即可，A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；C.3+（-4）=-1，3×（-4）=-12，不符合题意；D.3+4=7，3×4=12，不符合题意.故答案选A.【名师点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.4．（2018·河东区期末）（x2﹣mx+6）（3x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是（）A.0B.C.﹣D.﹣【答案】C【解析】试题解析：（x2﹣mx+6）（3x﹣2