《概率论与数理统计》经典课件-随机过程

2020/3/201概率论与数理统计2随机过程3关键词：随机过程状态和状态空间样本函数有限维分布函数均值函数方差函数自相关函数自协方差函数互相关函数互协方差函数正态过程独立增量过程泊松过程维纳过程第十章随机过程及其统计描述4§1随机过程的概念随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：((),()),eXeYe12((),(),()),neXeXeXe12((),(),),eXeXe(),eXe((,)(,)),eXettX一维即——随机变量(,)XY即——二维随机变量12(,,)XX即——随机序列12(,,,)nXXXn维即——随机变量((),(,))Xtt即——随机过程5一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。(,),,,,(,),,TXeteStTetSTtTXetXeteStT设是一无限实数集，是对应于和的实数，即为定义在和上的二元函数。若此函数对任意固定的是一个随机变量，定义：则称是随机过程；,(,)TetXet为参数集，对固过程定的和称为的状态；(,)Xet所有可能的值状的全体称为态空间；(,)()XetXt今后将简记为(,),,tXeteStTe对于随机过程进行一次试验，即给定，它是的函数，称为随机过程的样本函数。6例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：1(),()()2(),,costHXttPHPTtTXtt当出现，其中当出现则是一随机过程。,()tXtcostt解：对任意固定的是随机变量，取值为和1234()Xt1()Xt2()Xtt1(())(())2PXtcostPXtt12(),()XtcostXtt此随机过程的样本函数只有两个，即72()(),,,(0,2),()(),(0,2),()(),XtcostttXtcostxtcost例：考虑式中和是正常数,是在上服从均匀分布的随机变量,这是一个随机过程。对每一固定的时刻是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-].在内随机取一数相应的就得到一个样本函数这族样本函数的差异在于它们相位的不同,故这一过程称为随机相位正弦波。83(),[0,1]()()[0,1]().XtVcosttVXttXtVcostVcostvxtvcost例：设其中是常数；在上服从均匀分布,则是一个随机过程。对每一固定的，是随机变量乘以常数，故也是随机变量,对上随机变量取一值,就得到相应的一个样本函数94120()0,0()(),00,1,2,.XtttXtXtt例：设某城市的急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。以表示时间间隔内接到的呼叫次数，它是一个随机变量，且对于不同的，是不同的随机变量，于是是一随机过程，且它的状态空间是1t2t3t4t'1t'2t'4t'3t14231()xt2()xt()xtt例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：16(1)(1)1,2,(),1,2,3,4,5,6,1nnnnXnnnXPXiiXn设是第次抛掷的点数，对于的不同值，是随机变量，服从相同的分布，因而构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,它的状态空间为1,2,3,4,5,6。(2),11,2,3,4,5,6nnYnYn设是前次抛掷中出现的最大点数,也是一随机过程，它的状态空间仍是。下面分别给出它们的一条样本函数：n87654321nx321654nx(1)(2)n87654321ny321654ny11随机过程的分类：随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变量两种：1.连续参数连续型的随机过程，如例2，例32.连续参数离散型的随机过程，如例1，例43.离散参数离散型的随机过程，如例54.离散参数连续型的随机过程，12,2,,(),,,,,()nnTttntXtXXXXXnt对于随机相位正弦波，若只在时间集上观察，就得到例子随机序列是连续型随如下：机变量。12§2随机过程的统计描述分布函数两种描述特征数()一随机过程的分布函数族1212121111222221(,,,,)(),()(2,3,),,(),(),(),1,2,(),(,,;,,)(),,()XnnnniXnnnniFxxxtttPXtxXtxXtnntttTnXtXtXtxRinXttTFxxxttttTXttnxnT一般地，对任意个不同的时刻，维随机变量的分布函数：称为随机变；，量的称为的维分布函数维分布函数族1212(,,;,,),1,2,(),XnniFxxxtttntTXttT有限维分布一般地，称为随机过程的它完全确定了随机过程函数族的统计特性(),,,(),(,)),(,)(XXFxtPXtxxRXttTtTXttTFxttT设随机，过程对每一固定的称为随机一过程的称维分布函数一为，维分布函数族13例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos1(),()(),2()(1)(;0)(;1);(2)(,;0,1);tHXttPHPTtTXtFxFxFxx出现，设出现试确定的：一维分布函数，二维分布函数1(0)0HXT出现解：出现001(;0)01211xFxxx故1(1)1HXT出现出现011(;1)11211xFxxx故14例1：抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：12cos1(),()(),2()(1)(;0)(;1);(2)(,;0,1);tHXttPHPTtTXtFxFxFxx出现，设出现试确定的：一维分布函数，二维分布函数1,1(0),(1)0,1HXXT出现出现121212121201110(,;0,1)111xxxxFxxxx且或故且其他1234()Xt1()Xt2()Xtt1x2x152(),,[0,1]30,,,,()442XtVcosttVtXt例：设随机过程，在上均匀分布求在时的密度函数。,0,tcostacost解：对给定的若记，()XtaV则的密度函数为：1011;0XVxxaafxtfaa其他01acos101;00Xxfx于是其他2,42acos220;240Xxfx其他23,42acos2203;240Xxfx其他1,acos110;0Xxfx其他0,2acos012PX1622222(),,()[()]()[()]()()[()()]()()XXXXXXXXttTtEXttEXttDtEXtttt均值函数均方值函给定随机过程-----数方差函数标准差函数-各数字特征之间的关系如下：(二)随机过程的数字特征12121212121122,(,)[()()](,)[(),()][()()]()()[()()]XXXXXXttTRttEXtXtCttCovXtXtEXttXtt又设任自相关函数自协意方差函数2,XXtRtt121212,,XXXXCttRtttt22,,XXXXtCttRttt172(),,[()]()XttTtTEXtXt随机过程，如果对每一都存在，则称是，二阶矩过程的均值函数和相关二阶函数定总义：是程矩过存在的。1212(),1,,,(),(),()(),nnXttTntttTXtXtXtnXttT是一随机过程，若它的每一个有限维分布都是正态分布，即对任意整数及任意服从维正态分布，则称是正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差正函定义：态过程数所确定。183,()3,,,~1,4,~0,2,()ABXtAtBtTABANBUXt例：设是两个随机变量，试求随机过程:的均值函数和自相关函数。如果相互独立，且问的均值函数和自相关函数又是怎样的？()()XtEXt解：()3()tEAEB1212(,)[()()]XRttEXtXt22121212()3()()9(),ttEAttEABEBttT1,4,0,2ANBU当时，224()1,()5,()1,()3EAEAEBEB,AB又因为独立，()()()1EABEAEB故12121212()3,(,)53()12,XXttRttttttttT19()(),(0,2)Xtacostt例4：求随机相位正弦波在上均匀分布的均值函数、方差函数和自相关函数。解：由假设的概率密度为：1212(,)[()()]XRttEXtXt10220f其他()[()]XtEXt于是Eacost20102acostd212[()()]Eacostcost221()2acostt221201()()2acostcostd2122ttacos＝＝＝22()(,)()XXXtRttt2(,)2XaRtt20225(),,,,,(0,)()XtABtCttABCNXt例：设其中是相互独立,且都服从正态分布的随机变量，试证明是正态过程,并求它的均值函数和自相关函数。()Xt解：是正态过程121122,,,()()()nnnuuuuXtuXtuXt对任意一组数服从一维正态分布21122111()()()nnnnniiiiiiiiuXtuXtuXtAuButCut而,,(,,)ABCABC因为是相互独立的正态变量，故是三维正态变量，()Xt所以是正态过程1212,,,(),(),()nntttTXtXtXtn对任意一组实数服从维正态分布2111,,nnniiiiiiiiAuBututABC＋C是的线性组合，因此它服从一维正态分布，续21下面计算均值函数和自相关函数:()()()()()()0,EAEBECEABEACEBC因为2222()()()EAEBEC2()XtEABtCt故2()()()0EAEBtECt1212(,)(,)XXCttRtt221122[()()]EABtCtABtCt2221212(1)tttt22(),(),(),()(),()XtYttTtTXtYtXtYttT设是依赖于同一参数的随机过程，对于不同的()是不同的二维随二机变量，称为维随机过程(三)二维随机过程的分布函数和数字特征'''1211'''1212'''12121212(),(),,;,,(),(),();(),(),()(,,;,,;,,;,,)nmnmnn