选修2-21.2.2第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1.曲线y=13x3-2在点-1,-73处切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.135°D.60°[答案]B[解析]y′|x=-1=1,∴倾斜角为45°.2.设f(x)=13x2-1xx,则f′(1)等于()A.-16B.56C.-76D.76[答案]B3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0[答案]A[解析]∵直线l的斜率为4,而y′=4x3,由y′=4得x=1而x=1时,y=x4=1,故直线l的方程为:y-1=4(x-1)即4x-y-3=0.4.已知f(x)=ax3+9x2+6x-7,若f′(-1)=4,则a的值等于()A.193B.163C.103D.133[答案]B[解析]∵f′(x)=3ax2+18x+6,∴由f′(-1)=4得,3a-18+6=4,即a=163.∴选B.5.已知物体的运动方程是s=14t4-4t3+16t2(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是()A.0秒、2秒或4秒B.0秒、2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.0秒、4秒或8秒[答案]D[解析]显然瞬时速度v=s′=t3-12t2+32t=t(t2-12t+32),令v=0可得t=0,4,8.故选D.6.(2010·新课标全国卷文,4)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x-1C.y=2x-2D.y=-2x-2[答案]A[解析]本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题.由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x3-2x+1的切线方程为y=x-1,故选A.7.若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为()A.π2B.0C.钝角D.锐角[答案]C[解析]y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)=2e4sin(4+π4)0,故倾斜角为钝角,选C.8.曲线y=xsinx在点-π2,π2处的切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为()A.π22B.π2C.2π2D.12(2+π)2[答案]A[解析]曲线y=xsinx在点-π2,π2处的切线方程为y=-x,所围成的三角形的面积为π22.9.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2011(x)等于()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[答案]D[解析]f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=f2′(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=f3′(x)=(-cosx)′=sinx,∴4为最小正周期,∴f2011(x)=f3(x)=-cosx.故选D.10.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x)、g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x)=g(x)B.f(x)-g(x)为常数C.f(x)=g(x)=0D.f(x)+g(x)为常数[答案]B[解析]令F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x)=0,∴F(x)为常数.二、填空题11.设f(x)=ax2-bsinx,且f′(0)=1,f′π3=12,则a=________,b=________.[答案]0-1[解析]f′(x)=2ax-bcosx,由条件知-bcos0=12π3a-bcosπ3=12,∴b=-1a=0.12.设f(x)=x3-3x2-9x+1,则不等式f′(x)<0的解集为________.[答案](-1,3)[解析]f′(x)=3x2-6x-9,由f′(x)<0得3x2-6x-9<0,∴x2-2x-3<0,∴-1<x<3.13.曲线y=cosx在点Pπ3,12处的切线的斜率为______.[答案]-32[解析]∵y′=(cosx)′=-sinx,∴切线斜率k=y′|x=π3=-sinπ3=-32.14.已知函数f(x)=ax+bex图象上在点P(-1,2)处的切线与直线y=-3x平行,则函数f(x)的解析式是____________.[答案]f(x)=-52x-12ex+1[解析]由题意可知,f′(x)|x=-1=-3,∴a+be-1=-3,又f(-1)=2,∴-a+be-1=2,解之得a=-52,b=-12e,故f(x)=-52x-12ex+1.三、解答题15.求下列函数的导数:(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=(x+1)(1x-1);(3)y=sin4x4+cos4x4;(4)y=1+x1-x+1-x1+x.[解析](1)∵y=xx2+1x+1x3=x3+1+1x2,∴y′=3x2-2x3;(3)∵y=sin4x4+cos4x4=sin2x4+cos2x42-2sin2x4cos2x4=1-12sin2x2=1-12·1-cosx2=34+14cosx,∴y′=-14sinx;(4)∵y=1+x1-x+1-x1+x=(1+x)21-x+(1-x)21-x=2+2x1-x=41-x-2,∴y′=41-x-2′=-4(1-x)′(1-x)2=4(1-x)2.16.已知两条曲线y=sinx、y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.[解析]由于y=sinx、y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),∴两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直,必须cosx0·(-sinx0)=-1,即sinx0·cosx0=1,也就是sin2x0=2,这是不可能的,∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.17.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2.直线l与C1、C2都相切,求直线l的方程.[解析]设l与C1相切于点P(x1,x21),与C2相切于点Q(x2,-(x2-2)2).对于C1:y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y-x21=2x1(x-x1),即y=2x1x-x21.①对于C2:y′=-2(x-2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x21=x22-4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0.∴直线l的方程为y=0或y=4x-4.18.求满足下列条件的函数f(x):(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;(2)f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.[解析](1)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)则f′(x)=3ax2+2bx+c由f(0)=3,可知d=3,由f′(0)=0可知c=0,由f′(1)=-3,f′(2)=0可建立方程组f′(1)=3a+2b=-3f′(2)=12a+4b=0,解得a=1b=-3,所以f(x)=x3-3x2+3.(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数,则可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)f′(x)=2ax+b,把f(x)和f′(x)代入方程,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1整理得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1若想对任意x方程都成立,则需a-b=0b-2c=0c=1解得a=2b=2c=1,所以f(x)=2x2+2x+1.