搜索
第四讲消去法解题2007-07-3114:02:22|分类：五年级奥数|字号订阅有这样一个问题，小朋友你能不能很快回答出来？张老师给李明5元钱，让他去买10支铅笔，5本练习本。李明听错了，买回来4支铅笔，5本练习本，并找给老师2.4元。求铅笔和练习本的单价。在这一类的问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系。解决这一类问题，通常采用“消去法”——即通过分析比较，去同求异，设法消去一个未知数量，从而将问题简化。【例题解析】例1小华买了3把小刀和4块擦皮，共用去1元。小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮，共用去1.6元。小刀和擦皮单价分别是多少元？分析题目给出了两种不同的买法，列举如下：3把小刀＋4块擦皮＝1元6把小刀＋4块擦皮＝1.6元对比发现：两种买法中，擦皮的块数是一样的，而小刀的个数不一样。多买3把小刀，就要多用去1.6-1＝0.6元，所以1把小刀的价钱是：0.6÷3＝0.2元，从而可计算出1块擦皮的价钱应是：(1-0.2×3)÷4＝0.1元。解：(1.6-1)÷(6-3)＝0.2(元)……小刀单价(1-0.2×3)÷4＝0.4÷4＝0.1(元)……擦皮单价答：每把小刀0.2元，每把擦皮0.1元。【边学边练】已知：3A＋7B＝101，9A＋7B＝149。那么10A-5B＝（）。例2食堂第一次运进大米5袋，面粉9袋，共重850千克。第二次运进大米7袋，面粉3袋，共重710千克。大米和面粉每袋各重多少千克？分析对比两种情况，大米和面粉的袋数都不相同，该怎样消去其中一个数量呢？可以先转化条件：既然7袋大米＋3袋面粉＝710千克，那么再继续运进7袋大米和3袋面粉，又运进710千克。即：14袋大米＋6袋面粉＝1420千克；同理：21袋大米＋9袋面粉＝2130千克；对比：5袋大米＋9袋面粉＝850千克；可得：1袋大米＝（2130-850）÷（21-5）＝1280÷16＝80千克。所以：1袋面粉＝(710-7×80)÷3＝50千克。解：(710×3-850)÷（3×7-5）＝1280÷16=80（千克）……每袋大米重(710-7×80)÷3＝150÷3=50（千克）……每袋面粉重【相关链接】在等式的两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。这是等式的一个重要性质，我们可以根据这个性质来转化题目中所给的条件，设法使题中某一个数量前后两次保持一样，从而达到消去这个数量的目的。这种转化条件的解题方法是解题时常用的一种技巧。“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，通过转化条件，往往能为我们解决问题提供一个新的途径。想一想：若使得大米的袋数相同，该如何转化已知条件？【边学边练】已知：3A＋7B＝57，2A＋3B＝28。那么A＋B＝（）。例35头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克。1头牛、1匹马每天各吃草多少千克？分析本题当然可以参照例2的解法来解，但如果注意到这道题本身的特点，还可以找出一种更加简便的解法。若将第一群（5头牛、6匹马）与第二群（6头牛、5匹马）赶到一起来合并，则可以得出：11头牛11匹马的吃草量＝139＋125＝264千克，所以1头牛1匹马的吃草量＝264÷11＝24千克，进而得到5头牛5匹马的吃草量＝24×5＝120千克。从而容易得出1头牛的吃草量为：125-120＝5千克，1匹马的吃草量为：139-120＝19千克。解：（139+125）÷（5+6）=24（千克）……1牛1马1天吃草量125-24×5＝5（千克）……1牛1天吃草量24-5=19（千克）……1马1天吃草量答：1头每天各吃草5千克牛，1匹马每天各吃草19千克。【相关链接】数学问题是千变万化的，各有各的特点，所以在解题中应仔细观察题目中的条件，根据题目本身的特点选择最佳解法。【边学边练】1、已知：3A＋7B＝45，5A＋9B＝67。那么A-B＝（）。2、8千克豆角、9千克西红柿共值16.8元，9千克豆角、8千克西红柿共值17.2元，求豆角和西红柿的单价各是多少？例4甲有5盒水果糖，乙有4盒奶糖共值22元，如果甲乙两人对换一盒，则每人手中的糖果价值就相等。一盒水果糖、一盒奶糖分别值多少元？分析“对换一盒，价值相等”能告诉我们什么样的信息呢？这句话其实就是说，甲手中有4盒水果糖＋1盒奶糖＝11元，乙手中有1盒水果糖＋3盒奶糖＝11元。这样就把原题转化为一般性的问题了。解：(11×3-11)÷(4×3-1)＝2(元)……水果糖单价11-2×4＝3(元)……奶糖单价答：一盒水果糖值2元，一盒奶糖值3元。例55头牛、6匹马、2只羊每天吃草143千克；6头牛、5匹马、4只羊每天吃草133千克；3头牛、2匹马、1只羊每天吃草55千克，1头牛、1匹马、1只羊每天吃草各多少千克？分析与解首先将题目中的数量关系表示出来（为了说明方便，给每个数量关系式分别编号）：5牛＋6马＋2羊＝143千克…………①6牛＋5马＋4羊＝133千克…………②3牛＋2马＋1羊＝55千克………③①式×2得：10牛＋12马＋4羊＝286千克…………④④式-②式得：4牛＋7马＝153千克…………⑤③式×4得：12牛＋8马＋4羊＝220千克…………⑥⑥式-②式得：6牛＋3马＝87千克…………⑦⑤式×3得：12牛＋21马＝459千克…………⑧⑦式×2得：12牛＋6马＝174千克…………⑨⑧式-⑨式得：15马＝285千克1匹马的吃草量：285÷15＝19千克；1头牛的吃草量：（87-19×3）÷6＝5千克；1只羊的吃草量：55-5×3-19×2＝2千克。【相关链接】对于含有3个及3个以上未知数量的题目，解题时应采取“逐步消元”的思路，如本题中是先消去羊，得出的⑤、⑦两式中，都不含羊，这样就将三个未知数的问题转化为两个未知数的问题；再消去牛，从而求出马的吃草量，进而求出牛、羊的吃草量。【边学边练】5本语文书、2本数学书、1本自然书共值8.01元，2本语文书、1本数学书、3本自然书共值5.36元，4本语文书、3本数学书、2本自然书共值8.58元，求每本书的单价。【课外拓展】1、3只热水瓶与8只玻璃杯共值27.6元，5只热水瓶与6只玻璃杯共值35元，一只热水瓶与一只玻璃杯各多少元？2、孙悟空化斋得到了10盒巧克力，猪八戒化斋得到了7个人参果，一共价值52元。悟空对八戒说：“我拿2盒巧克力换你3个人参果，行不？”八戒说：“那我们的价值就一样了，我才不换呢。不过要是你愿意补给我差价，我就换。”你知道巧克力和人参果的单价分别是多少吗？悟空应补多少差价，八戒才愿意换呢？3、某天公园里早锻炼的人，有15人不是老年人，有18人不是青年人，有23人不是儿童。这天公园里参加早锻炼的人中，老年人、青年人、儿童各有多少人？4、有红、黄、蓝三种笔，1支红笔、3支黄笔、2支蓝笔共17元；2支红笔、4支黄笔、3支蓝笔共26元；3支红笔、2支黄笔、1支蓝笔共20元。每种颜色的笔的单价各是多少元？【走进赛题】1、甲乙两人加工零件。甲做4小时，乙做6小时，则共加工零件196个；甲做7小时，乙做3小时，则共加工零件208个。甲乙两人每小时各加工多少个零件？（第七届《小学生数学报》数学竞赛初赛题）2、某文具店将铅笔、彩色笔、圆珠笔用三种方式搭配装在文具盒内出售，文具盒内装4支铅笔售4元；在同一种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔售8元；仍在这种文具盒内装4支彩色笔和2支圆珠笔，再加2支铅笔售9元。如果在这个文具盒内装3支铅笔、2支彩色笔和1支圆珠笔，那么售价应该是多少元？（上海市第六届小学数学竞赛题）3、有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83千克、85千克和86千克。问其中最轻的箱子重多少千克？（第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛题）