钢结构稳定第五章第三组报告

第三组瑞利-里兹法与迦辽金法张海耀胡佳梁钱慧蒋聪回顾：稳定计算的近似分析法能量守恒原理如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功，则保守体系处于稳定平衡状态，此谓之能量守恒。表达式：ΔU=ΔW＊用能量法得到的屈曲荷载常常比精确解的结果略大。势能驻值原理当作用有外力的结构体系，其位移有微小的变化而总的势能不变，也即总的势能有驻值时，则该结构体系处于平衡状态，此即为势能驻值原理。表达式：0）（VU最小势能原理利用前面的两种方法都能求解出构件的弹性屈曲荷载，但却不能判断这种平衡形式的类别，此时需利用最小势能原理来判别平衡的稳定与否。若，总势能有最小值，平衡稳定；若，平衡是不稳定的；若，平衡是中性的。0005.4瑞利-里兹法（Rayleigh,L.,Ritz,W.）方法和原理能量法先假定构件的挠曲线函数，此曲线函数必须满足几何边界条件,将其带入总的势能，通过求解出屈曲荷载。瑞利-里兹法是应用势能驻值原理，直接求解总势能为不变时的条件变分极值问题0UV（）运用瑞利里兹法不仅能求解两向位移下的屈曲荷载，还可以求解后面几章中具有三向位移的结构稳定问题。构件上、下两段的惯性矩分别是和。用平衡法可得构件的屈曲方程为式中我们用瑞利-里兹法求解屈曲荷载，需要先假定构件的挠曲线为此式符合边界条件任一截面的弯矩112212tantan/klklkk1I2I11PkEI22PkEI(1cos)2xyvl'(0)0,(0)0yy和y(l)=v()cos2xMPvyPvl12实例5.3见习题2.5应变势能外力势能由势能驻值条件得，，因，得到222202122lllMMUdxdxEIEI2222222021(coscos)222lllIPvxxdxdxEIlIl2222222211()(1)sin4IIlPVllllEIIIl2222'22200()sin28216llPPvxPvVydxdxlll222222222211()(1)sin416IIlPvlPvUVlllEIIIll0ddv0,0Pv2222222211114(1)(1)sincrEIPllIIllllIIl3456当，时，，而精确值为，经比较，仅相差1%，故近似解是足够精确的，而用式（6）计算变截面轴心受压构件的屈曲荷载十分方便。式（6）用通式表示为12/2lll212II222221112(1)(1)sinllIIlllIIl222.088crEIPl222.067crEIPl7222lEIPcr式中式（9）还可以用更简单的代数式表示，令经过试算，可得的实用计算公式为对于式（7），其实用计算公式为222222222221111()(1)(1)sincrEIEIPllIIlllllIIl22222111(1)(1)sinllIIlllIIl212/,/llII2(1)(2)2[2(1)(2)]891011图5.5（b)例5.4用瑞利-里兹法确定图5-6所示两端简支的压弯构件的最大挠度和最大弯矩。需要假定构件的挠曲线应变势能外力势能由势能驻值条件，得到sinxyvl42''230()24lEIEIvUydxl22'22200()2(/3)cos2sin223llPPvxVydxQyldxQvll422231.73244EIvPvUVQvll221.7324PvQvl0ddv3343.464(1/)28.12(1/)EEQlQlvEIPPEIPP123455.5伽辽金法（Galerkin,B.G.）方法和原理能量法迦辽金法是直接利用势能驻值条件中的平衡微分方程式，不再需要写出总势能，但这样做的前提是所选位移函数需既满足几何边界条件，又满足自然边界条件，这样式由（5.21）可得到方程'''0()0lEIyPyydxⅣ'''()EIyPyⅣ21()0xxLyydx11221...()nnniiiyaaaax12112...nniiniyyyyyaaaaaaaa11221...nnniiiaaaa（5.29）（5.28）12,,...,naaa212112()()0()()0xxxxLyxdxLyxdx21()()0xnxLyxdx）（30.5将式（5.29）带入式（5.28），但是式中·都是不等于零的微小的任意值，而式（5.28）是恒等式，因此就只有上式（5.30）称为迦辽金方程组。如果此方程组均为无常数项的齐次方程，则通过其系数行列式为零可得到构件的屈曲荷载。如果式（5.30）为非齐次方程组，则可以解得，从而得到近似的挠曲线函数、最大挠度和最大弯矩。12,,...,naaa例题5.5解：悬臂构件变形后的坐标轴如图5.7（b）所示，假定挠曲线：sin2xyvl（1）验证边界条件：几何边界条件：y(0)=0,y(l)=v,y’(l)=0自然边界条件：y”(0)=0根据图5.7（C）所示隔离体建立平衡方程：110''()0xEIyqyydx110()''()xLyEIyqyydx(2)(3)21102()sinsinsin2222sinsincos122222xxxxxLyEIqvvdxllllxxxxxEIqvqvlllll（4）（5）()sin2xxl00()()()sin02llxLyxLydxl02sin)(0dxlxyLl伽辽金方程为将代入式（4），经积分后得到22211084EIvqll因，故如用平衡法，令2qlkEI可得构件的屈曲方程为第一类的-1/3阶修正Bessel函数，13203Ikl(6)(7)，之最小值kl为2.7995，精确解222222.79957.8371.1222crEIEIEIqllll故近似解稍大5.9%2224298.8)4(2lEIlEIqlcr)(yL0v123sinsin22xxyvvll如果挠曲线函数改为二项式（8）这样迦辽金方程组为0()sin02lxLydxl03()sin02lxLydxl（9）（10）221211121210221212133()sinsin222233sinsinsinsin2222333sinsinsinsin2222222cos12xxxLyEIvEIvllllxxxxqvvvvdxllllxxxxEIvEIvqxvvlllllllxqvl223cos132lxqvl将（8）代入（3）式得)11(2221222222122211308439110849EIqlvqlvlqlEIvvqll将式（11）代入式（9）和式（11），积分以后得到（12）（13）22222222222243840394836EIqlqllqlEIqll这是一组齐次方程式，有解的条件是其系数行列式为零将行列式展开后可以解得最小值27.838crEIqll与精确解27.837EIl，几乎是一致的。计算长度系数所以挠曲线函数由只用一项改用两项后，效果十分明显。1.122（14）比较：瑞利-里兹法和迦辽金法相同点：---二者都属于能量法；---都是近似的分析法；---均要先假定挠曲线函数，且挠曲线函数均要满足几何边界条件。不同点：---瑞利-里兹法需要先写出在外力作用下结构的总势能，再由一阶变分为零这一条件引出联立方程，这组方程都通过微分得到。---迦辽金法位移函数还满足自然边界条件，因此可直接利用平衡微分方程，不需写出总势能。---由于Galerkin法挠曲线函数同时满足两种边界条件，可能会增加计算难度，但是所得的计算结果精确度将更高。谢谢！求解过程假设结构屈曲时在坐标轴x,y和z三个方向的位移分别为u,v和w。ui,vi,wi则是一系列满足弹性体全部位移边界条件的连续函数。它们的试解函数可以用以下多项函数表示:niiizyxau1),,(niiizyxbv1),,(niiizyxcw1),,(将u,v,w代入作为泛函的总势能的表达式根据势能驻值原理，总势能变分为零，即有驻值条件：，就可以这具有3n个独立参数的结构的三个方向上的位移。),...,2,1(,000iiinicba，，VU0）（VU小结由于在行列式中含有荷载项,从而可以得到屈曲荷载.所以用瑞利-里兹法求解的并不是结构的位移函数,而是屈曲荷载.恰好的，如果在3n个代数方程组中含有常数项,那么用瑞利-里兹法可以得到荷载和位移之间的关系式.