数值天气预报-第3章-数值计算方案-南信大

ChenHaishanNIMNUISTCH3数值计算方案大气运动方程组数值方法离散化的大气运动方程组数值解(近似解)（1）有限差分方法（2）谱方法1ChenHaishanNIMNUIST§1差分方法和差分格式§2差分格式的基本性质§3时间积分方法和积分格式§4有限差分格式的误差分析§5非线性计算稳定性主要内容2ChenHaishanNIMNUIST§1差分方法和差分格式首先要对解域进行离散化（包括空间和时间的离散化），建立对应的网格系。一、差分格式的建立一维线性平流方程：(3.1)0xuctu3ChenHaishanNIMNUIST在x-t平面上建立以x和t为间隔的网格系，则任意一点的坐标为，则tnxiutxuunini,,NntntMixixni1,01,0xtixnt0其中为空间标号，为时间标号，x为空间格距（步长），t为时间格距（步长）。in4ChenHaishanNIMNUIST用Taylor展开式来构造出常用的几种差分格式。当x为一小量时，有以下关系式：（3.4）.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu5ChenHaishanNIMNUISTRΔxx,tuΔx,txuxu第一种差分格式向前差格式（前差格式）xx+Δxx-Δx.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu.......!3)(!223322xxuxxuR式中6R为截断误差(可以表示差商的精度)ChenHaishanNIMNUIST（3.3b）RΔxΔx,txux,tuxu第二种差分格式向后差格式（后差格式）xx+Δxx-Δx.......!3)(!223322xxuxxuR式中.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu7ChenHaishanNIMNUIST（3.3a）（3.3b）RΔxΔx,txuΔx,txuxu2第三种差分格式中央差格式xx+Δxx-Δx.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu式中.......!3)(233xxuR8ChenHaishanNIMNUIST前差格式：R=Ox后差格式：R=Ox中央差格式：R=Ox2根据R，前差格式和后差格式为一阶精度，而中央差分格式为二阶精度。一阶微分的三种常用的差分格式：RΔxx,tuΔx,txuxuRΔxΔx,txux,tuxuRΔxΔx,txuΔx,txuxu29ChenHaishanNIMNUIST同样，可以用时间差分格式来表示时间微商，得到类似的时间差分格式。对平流方程进行离散化，时间t取前差格式，空间x分别取前差、后差和中央差格式，则可以构造出以下差分方程：011xuuctuuninininiOt,x前差格式Ot,x后差格式Ot,x2中央差格式011xuuctuunininini02111xuuctuunininini10ChenHaishanNIMNUIST二阶微分的差分问题：.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxu.......!3)(!2)(),(),(333222xxuxxuxxutxutxxuRΔxΔx,txux,tuΔx,txuxu222)(211ChenHaishanNIMNUIST22222yAxAAxy(i,j)(i-1,j)(i+1,j)(i,j+1)(i,j-1)2,1,,122)(2ΔsAAAxAjijiji21,,1,22)(2ΔsAAAyAjijiji2,,1,11,1,,2)(4)(ΔsAAAAAAjijijijijiji12ChenHaishanNIMNUIST13补充：4阶经度的差分格式构造223323()()(,)(,).......2!3!uuxuxuxxtuxtxxxx223323()()(,)(,).......2!3!uuxuxuxxtuxtxxxx223323(2)(2)(2,)(,)2.......2!3!uuxuxuxxtuxtxxxx223323(2)(2)(2,)(,)2.......2!3!uuxuxuxxtuxtxxxxux333()(,)-(-,)22.......3!uuxuxxtuxxtxxx333()(2,)-(-2,)416.......3!uuxuxxtuxxtxxx（1）（2）（1）*8-（2）(3.11)ChenHaishanNIMNUIST在差分格式、差分方程的讨论中：R反映了差分方程代替微分方程时的截断误差，它在一定程度上代表了差分格式的精度。R的阶次越高，则差分格式的精度越高，误差越小。中央差格式的精度要比前差格式和后差格式高。一、误差分析和差分格式的基本性质§2差分格式的基本性质14ChenHaishanNIMNUIST差分格式一旦建立，这种格式是否是可用的？必须在采用差分格式之前对之进行进一步的考查，讨论差分格式的相容性收敛性稳定性……………..等问题。15ChenHaishanNIMNUIST当空间步长x和时间步长t很小时，差分方程是否逼近微分方程，即差分格式的相容性（一致性）问题。在实际问题中，通常利用R来考察差分格式的相容性（一致性）。如果当t,x0时，R0的，则差分方程与微分方程是相容的或是一致的。1、相容性（一致性）问题16ChenHaishanNIMNUIST可见，以上三种差分格式构造的差分方程与微分方程（3.1）是相容（一致的）。在设计一种差分格式时，首先必须考虑其相容性（一致性）。011xuuctuuninininiOt,x前差格式Ot,x后差格式Ot,x2中央差格式011xuuctuunininini02111xuuctuunininini17ChenHaishanNIMNUIST截断误差是否随着网格距和时间步长趋于0而趋近于0，称之为解的收敛性问题。2、收敛性问题设f代表微分方程的解，代表差分方程的准确解，代表差分方程的近似解（数值解）。那么：截断误差舍入误差FF)()(FFFfFf18舍入误差是否随着网格距和时间步长趋向于0而在整个求解区域内保持有界，称之为解的稳定性问题。反映了舍入误差的积累。3、稳定性问题ChenHaishanNIMNUIST拉克斯（Lax）等价定理给出了差分格式的相容性、收敛性及稳定性的关系：对于一个线性微分方程的适定初值问题，若其差分方程与微分方程是相容的，则稳定性是收敛性的充要条件。可见，保证差分格式的稳定性显的格外重要。另外，在设计差分格式时，还必须考虑计算的有效性和节约计算资源，尽可能选择计算简单、速度快、使用计算机内存少的方案。19ChenHaishanNIMNUIST二、差分格式的线性计算稳定性问题20对于大气科学中的数值计算而言，差分解的稳定性问题可以定性的表述为：对于任意给定的初始条件和时间步长等，随着积分步数的增长，差分解是否有界。数值解的有界性就是稳定性判据。ChenHaishanNIMNUIST210xuctu一维线性平流方程时间用前差，空间用后差，可得差分方程：Ot,x后差格式011xuuctuunininini令于是有：xtcnininiuuu111ninininiuxtcuxtcuu11（3.18）ChenHaishanNIMNUISTiIkxnnieAuctxIkAectxFtxu,22IkxAexFxu0,则其初值为：设n时刻的解：（3.19）因是线性常系数方程，真解可知，设其为波动形式：（3.20）（注：这里An相当于AeIk(x-ct)中的Ae-Ikct）ChenHaishanNIMNUIST得：故最终可以将上式写成：（3.21）令上式可写成：（3.22）111111iiiiiIkxIkxIkxnnnIkxxnnnAeAeAeAAAenxIknxIknnnAeAeAAA1111GexIk1nnGAA123iIkxnnieAunininiuuu111ChenHaishanNIMNUIST这就要求，或。差分解的振幅将不随n的增加而增大，则差分格式稳定。这就是冯--纽曼的稳定性必要条件。代入（3.22），差分近似解可表示为：定义G为增幅因子：得递推关系：xIknneAAG11021AGAGGAAnn2nn-iIkxnnieGAu01G11nnAA24（3.23）若差分解当n-∞时是有界的，就保证了差分近似解是稳定的。niuChenHaishanNIMNUIST根据以上条件，现具体地分析后差格式（3.18）的稳定性。首先，对于该差分格式，其增幅因子为：xIknneAAG11xixexixeixixsincossincos25（3.21）欧拉公式：ChenHaishanNIMNUIST利用欧拉公式将上式展开：222sincos1sincos1xkxkGxkIxkG12sin141cos1121cos12121cos12221cos1221sincos12cos1222222222xkxkxkxkxkxkxkxk12sin141cos1121cos12121cos12221cos1221sincos12cos1222222222xkxkxkxkxkxkxkxk12sin141cos1121cos12121cos12221cos1221sincos12cos1222222222xkxkxkxkxkxkxkxk12sin141cos1121cos12121cos12221cos1221sincos12cos1222222222xkxkxkxkxkxkxkxk