数值天气预报-第4章正压原始方程模式-南信大

ChenHaishanNIMNUISTCH4正压原始方程模式1需注意的问题：有快波解，时间步长要小，以保证计算稳定，但增大了计算工作量。（需设计省时、精度高、稳定的积分格式）由于时间步长短，非线性计算不稳定问题突出。（需构造守恒的空间差分格式）初始场不协调可产生虚假的重力惯性波。（需初始化）对边界敏感。（需设定）ChenHaishanNIMNUIST2§4.1正压原始方程模式的基本方程及积分性质§4.2正压原始方程组的线性计算稳定性确定时间积分步长§4.3正压原始方程模式的空间差分格式抑制非线性计算不稳定§4.4正压原始方程模式的时间积分格式§4.5正压原始方程模式的数值解法ChenHaishanNIMNUIST§4.1模式的基本方程及积分性质一、模式的预报方程组0xfvpuyuvxuutu0yfupvyvvxvutv1p0pyvxu（x，y，p，t）坐标系下运动方程静力学方程连续方程（4.1）（4.2）（4.3）（4.4）3ChenHaishanNIMNUIST第一、假设大气均匀不可压，密度为一常数。Tp,0SSpp,自由表面下边界上边界图4.1正压模式大气示意图在以下3个假设基础上导出正压原始方程模式的预报方程组：4ChenHaishanNIMNUIST第二、假设模式满足静力平衡。垂直积分说明：模式满足静力平衡的条件下，对于均匀不可压大气水平气压梯度不随气压（或高度）变化。（4.5）任意等压面上的位势梯度满足：（4.6）TpT第三、假设模式大气是正压的，初始时刻水平风速不随气压变化，即：0,0pvput1p静力学方程5ChenHaishanNIMNUIST问题：如何得到关于的闭合的方程组。关键在于如何使连续方程也变为只含因变量的方程。,,vu0xΦfvpuωyuvxuutuT0yΦfupvωyvvxvutvT1p0pyvxu运动方程静力学方程连续方程方程分析：,,vu6ChenHaishanNIMNUIST连续方程的变形：首先，应用垂直边界条件：sSppp,0,0将连续方程（4.4）式从积分，可以得到：（4.7）考虑到：（4.8）sSppp,0,0到VpSS可把上式写成：dtdptyxppssss/,,,0Vptpssdtdptyxppssss/,,,7ChenHaishanNIMNUIST将上式代入同时考虑到S不随时间变化，即用ps代入，可得（4.9）这就得到了用表示的连续方程。可得到：STSp0tS0vyuxtSTSTTTvu,,80VptpssTpChenHaishanNIMNUIST由于地球表面的重力位势S已知的，所以方程（4.1）、（4.2）和（4.9）式便构成了关于的闭合的预报方程组，即正压原始方程组。Tvu,,0xfvyuvxuutu0yfuyvvxvutv0yvxuyvxut假设地表平坦，则S=0，并略去下标T，则方程组可简化为：正压原始方程模式的预报方程组9ChenHaishanNIMNUIST则由正压原始方程组可作出未来时刻的风场和位势高度场的预报。通常，正压原始方程模式应用于500hPa高度场预报。yxyxvvyxuut,,,,,,0000如果给出初始风场和位势高度场：（4.13）10ChenHaishanNIMNUIST§4.2正压原始方程组的线性计算稳定性线性计算稳定性是确定时间积分过程中时间步长的一个重要依据，对于非线性的正压原始方程组，一般是通过研究其线性形式的计算稳定性，作为确定时间积分步长的参考依据。本节主要讨论正压原始方程组的线性稳定性判据，并进一步分析其线性计算稳定性，以便为数值求解正压原始方程组时，选取时间积分步长提供一定的依据。11ChenHaishanNIMNUIST式中分别为纬向平均的风速分量和位势高度，u、z为扰动量。xuzxzutzxzgxuutuzu,xuzxzutzxzgxuutu0xzgxuutu0xuzxzutz为了讨论的方便，仅考虑一维运动:线性化后12ChenHaishanNIMNUIST如果令为重力外波波速，，则上两式可写为：（4.24）（4.25）zgccuU,/zzZ/xUcxZutZxZcxUutU时间、空间均采用中央差分格式，可得如下差分方程：其中d和t为空间步长、时间步长。ninininininininininininiUUdtcZZdtuZZZZdtcUUdtuUU111111111111xUcxZutZxZcxUutUninininininininininininiUUdtcZZdtuZZZZdtcUUdtuUU11111111111113ChenHaishanNIMNUISTninininininininininininiUUdtcZZdtuZZZZdtcUUdtuUU111111111111ninininininininininininiUUdtcZZdtuZZZZdtcUUdtuUU111111111111式中将上两式相加，并令：（4.26）可得：iiiZUFninininiFFFF1111dtcdtu,14ChenHaishanNIMNUIST（4.26）ninininiFFFF1111设差分方程的波动解为：（4.27）式中为F的常值波振幅，G为振幅放大因子，而k为纬向波数。IkidnnieGFFˆ下面用冯-纽曼方法讨论，并得出其线性稳定性判据。Fˆ15ChenHaishanNIMNUIST将波动解代入差分方程：（4.28）01sin22kdGIGninininiFFFF1111)ˆˆ)((ˆˆ)1()1(11diIkndiIknIkidnIkidneGFeGFeGFeGF))((11IkdnIkdnnneGeGGG16ChenHaishanNIMNUIST（4.28）可求解出：（4.29）01sin22kdGIGkdkdIG22sin1sin此时，差分方程的解和相应的差分格式均是计算稳定的。在满足情况下：（4.31）121G17ChenHaishanNIMNUIST将、的表达式代入，可得线性计算稳定性判据：（4.32）（4.33）式中为可能出现的最大值。采用类似方法，可得二维运动假定下，正压原始方程组对应的线性稳定性判据为：maxucdtmax2ucdtmaxuu12dtcdtu,18ChenHaishanNIMNUIST如果取d=300公里，c=300米/秒，=50米/秒为了保证数值计算稳定，则时间步长必须满足：t606秒正压原始方程模式的时间积分步长不能超过10分钟。注意：由于在原始方程模式保留了快速移动的重力惯性波，时间积分的时间步长必须取得很小，这会使得数值计算的工作量大大增加。maxu19ChenHaishanNIMNUIST用位势高度代替重力位势，正压原始方程组可变为:0xzgfvyuvxuutu0yzgfuyvvxvutv0yvxuzyzvxzutz以上方程组具有许多重要积分性质：全球总质量、总能量、总绝对涡度、总涡度和总绝对角动量守恒等性质。（4.14）（4.15）（4.16）二、模式方程组的积分性质而上述积分性质，是构造空间守恒的差分格式的重要的约束条件。20ChenHaishanNIMNUIST单位质量的空气块的动能和重力位能分别可以表示为：其中，zT为模式大气中自由表面的高度。单位截面积的空气柱的动能和重力位能分别为：gzvuk,212220021,TzTzgzgzdzkzkdzTT总能量守恒性质：20021,TzTzgzgzdzkzkdzTTgzvuk,212221ChenHaishanNIMNUIST由正压原始方程组，可导单位截面积的空气柱的空气块的动能和重力位能变化方程：（4.17）（4.18）0zVgzVkztkz02122zVgzVzggzt重力位能变化方程动能变化方程22ChenHaishanNIMNUIST将以上两式对全球等压面积分，并应用二维散度定理，可得：SzdSVgztKSzdSVgztP式中，分别相当于全球的总动能和总位能，那么以上两个方程就反映了全球的总动能和总位能的变化。（4.19）（4.20）SSdSgzPkzdsK221,23ChenHaishanNIMNUIST而将（4.19）式和（4.20）式相加，则有：（4.21）式中（4.22）上式表明，模式大气中的全球总动能与总位能之和不随时间变化，即全球总能量守恒。0tESzdSgzkPKE2124ChenHaishanNIMNUIST当然，模式大气中的总动能和总位能之间是可以发生转换的。二者的转换函数为：SzdSVgzF（4.23）gzVgzVz可见能量转换函数F相当于气压梯度力对全球模式大气作功的功率。在平均状况下，如果在某一等压面上，气流有高位势区流向低位势区，则气压场对整个模式大气作正功，F0，因而全球总动能增加，总位能减少；反之，如果有气流有低位势区流向高位势区，则气压场对整个模式大气作负功或者说模式大气克服气压梯度力作功，F0，因而全球的总动能减少，总位能增加。气压梯度力对单位质量气块作功的功率气压梯度力对单位截面积的空气柱作功的功率25ChenHaishanNIMNUIST§4.3正压原始方程模式的空间差分格式原始方程模式中含有快波解，其积分的时间步长需取得很小，使计算的非线性计算不稳定尤为突出。通常采用两种方法来解决：一、数值积分过程中采用空间平滑；二、设计守恒的空间差分格式。本节主要讨论守恒的空间差分格式的构造问题。26ChenHaishanNIMNUIST一个合理的有限差分方程应该保持对应微分方程的物理特性，保证差分方程的数值解能沿着正确的途径逼近微分方程的解。例如：正压原始方程组，具有全球总能量守恒的积分性质，可以构造一个差分方程组，使其全球范围内的总能量保持守恒。通常把按照一定的守恒性质构造的空间差分格式称为守恒的空间差分格式。一、守恒的空间差分格式的构造守恒空间差分格式的概念：27ChenHaishanNIMNUIST来具体讨论守恒的空间差分格式的构造。以简单的通量方程和平流方程为例：（4.34）（4.35）0VFtF0FVtF28ChenHaishanN