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11996年数学三试题一、填空题(1)设方程yxy=确定y是x的函数,则dy=______ _____.(2)设()arcsinxfxdxxC=+∫,则1()dxfx=∫______ _____..(3)设()00,xy是抛物线2yaxbxc=++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是.(4)设123222212311111231111nnnnnnnaaaaAaaaaaaaa−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋯⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯,123nxxXxx⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮,1111B⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋮,其中(;,1,2,,)ijaaijijn≠≠=⋯.则线性方程组TAXB=的解是_______.(5)设由来自正态总体2~(,0.9)XNµ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X=,则未知参数µ的置信度为0.95的置信区间为______ _____.二、选择题(1)累次积分cos200(cos,sin)dfrrrdrπθθθθ∫∫可以写成()(A)2100(,)yydyfxydx−∫∫(B)21100(,)ydyfxydx−∫∫(C)1100(,)dxfxydy∫∫(D)2100(,)xxdxfxydy−∫∫(2)下述各选项正确的是()(A)若21nnu∞=∑和21nnv∞=∑都收敛,则21()nnnuv∞=+∑收敛(B)1nnnuv∞=∑收敛,则21nnu∞=∑与21nnv∞=∑都收敛(C)若正项级数1nnu∞=∑发散,则1nun≥(D)若级数1nnu∞=∑收敛,且(1,2,)nnuvn≥=⋯,则级数1nnv∞=∑也收敛2(3)设n阶矩阵A非奇异(2n≥),A∗是矩阵A的伴随矩阵,则()(A)1()nAAA−∗∗=(B)1()nAAA+∗∗=(C)2()nAAA−∗∗=(D)2()nAAA+∗∗=(4)设有任意两个n维向量组1,,mαα⋯和1,,mββ⋯,若存在两组不全为零的数1,,mλλ⋯和1,,mkk⋯,使111111()()()()0mmmmmmkkkkλαλαλβλβ+++++−++−=⋯⋯,则()(A)1,,mαα⋯和1,,mββ⋯都线性相关(B)1,,mαα⋯和1,,mββ⋯都线性无关(C)1111,,,,,mmmmαβαβαβαβ++−−⋯⋯线性无关(D)1111,,,,,mmmmαβαβαβαβ++−−⋯⋯线性相关(5)已知0()1PB且()1212[]()()PAABPABPAB+=+,则下列选项成立的是()(A)()1212[]()()PAABPABPAB+=+(B)()1212()()PABABPABPAB+=+(C)()1212()()PAAPABPAB+=+(D)()()1122()()()PBPAPBAPAPBA=+三、设(),0,()0,0,xgxexfxxx−⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩其中()gx有二阶连续导数,且(0)1,(0)1gg′==−.(1)求()fx′；(2)讨论()fx′在(,)−∞+∞上的连续性.四、设函数()zfu=,方程()()xyuuptdtϕ=+∫确定u是,xy的函数,其中(),()fuuϕ3可微；()pt,()uϕ′连续,且()1uϕ′≠.求()()zzpypxxy∂∂+∂∂.五、计算20(1)xxxedxe−+∞−+∫.六、设()fx在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()fxfxdx=∫.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.ffξξξ′+=七、设某种商品的单价为p时,售出的商品数量Q可以表示成aQcpb=−+,其中ab、、c均为正数,且abc.(1)求p在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程22yxydydxx−+=的通解.九、设矩阵010010000010012Ay⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1)已知A的一个特征值为3,试求y；(2)求矩阵P,使()()TAPAP为对角矩阵.十、设向量12,,,tααα⋯是齐次线性方程组0AX=的一个基础解系,向量β不是方程组0AX=的解,即0Aβ≠.试证明:向量组12,,,,tββαβαβα+++⋯线性无关.十一、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?4十二、考虑一元二次方程20xBxC++=,其中BC、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q.十三、假设12,,,nXXX⋯是来自总体X的简单随机样本；已知(1,2,3,4)kkEXak==.证明：当n充分大时,随机变量211nniiZXn==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.