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18.2.1.1矩形的性质【基础诊断】1．矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()A．对角相等B．对角线相等C．对角线互相平分D．对边相等2．如图18－2－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法不一定正确的是()A．∠ABC＝90°B．OD＝12ACC．∠OAB＝∠OBAD．OA＝AD图18－2－1图18－2－23．如图18－2－2，在直角三角形ABC中，斜边AB上的中线CD＝AC，则∠B的度数为________．4．如图18－2－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6.求：(1)AB的长；(2)矩形ABCD的面积．图18－2－3命题点1矩形的四个角都是直角5．M为矩形ABCD中AB边上的中点，且AB＝2BC，那么∠BMC等于()A．30°B．45°C．60°D．75°6．矩形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(0，0)和C(2，0)，则点D的坐标是()A．(1，0)B．(1，1)C．(2，2)D．(2，1)7．矩形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1，2，3，4，则这个矩形的周长是()A．10B．20C．24D．25图18－2－48．如图18－2－4，矩形ABCD的面积为36cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为()A．18cm2B．16cm2C．20cm2D．24cm29．已知：如图18－2－5，P为矩形ABCD内一点，PC＝PD，求证：PA＝PB.图18－2－510．如图18－2－6，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠BAE，求证：四边形AEFD是平行四边形．图18－2－6命题点2矩形的对角线相等11．如图18－2－7，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于()A．5B．4C．3.5D．312．如图18－2－8，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝12∠CDE，那么∠BDC的度数为()A．60°B．45°C．30°D．22.5°图18－2－7图18－2－8图18－2－913．如图18－2－9，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝________cm.14．已知：如图18－2－10，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E.求证：AC＝CE.图18－2－1015．如图18－2－11，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD.若∠EAO＝15°，求∠BOE的度数．图18－2－11命题点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[热度：90%]16．2018·黄冈如图18－2－12，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝()A．2B．3C．4D．23图18－2－12图18－2－1317．如图18－2－13所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴、x轴上，当点B在x轴正半轴上运动时，点A随之在y轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________．18．如图18－2－14，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，E为AC的中点，F为BD的中点．求证：EF⊥BD.图18－2－1419．⑫如图18－2－15①，在矩形ABCD(AB＜BC)的BC边上取一点E，使BA＝BE，作∠AEF＝90°，交AD于点F，易证EA＝EF.(1)如图18－2－15②，若EF与AD的延长线交于点F，证明EA＝EF仍然成立；(2)如图18－2－15③，若四边形ABCD是平行四边形(AB＜BC)，在BC边上取一点E，使BE＝BA，作∠AEF＝∠ABE，交AD于点F，则EA＝EF是否成立？若成立，请说明理由．图18－2－15答案1．B2.D3.30°4．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∠ABC＝90°.又∵∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴AB＝12AC＝12×6＝3.(2)∵AB2＋BC2＝AC2，∴BC＝AC2－AB2＝33，∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝3×33＝93.5．B[解析]由四边形ABCD是矩形，可知∠B＝90°.∵M为AB的中点，AB＝2BC，∴BM＝BC，∴∠BMC＝∠MCB＝45°.6．D[解析]根据矩形的性质，点D到x轴的距离DC＝AB＝1，点D到y轴的距离DA＝BC＝2，所以点D的坐标为(2，1)．7．B8．A[解析]设矩形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm，则AE＝12b＝GC，BF＝12a，∴S阴影＝S矩形ABCD－S△AEH－S△HFC－S△HCG＝36－12AE·AH－12HD·CG－12FC·AB＝36－12AD·AE－12FC·AB＝36－12ab＝18(cm2)．9．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°.∵PD＝PC，∴∠PDC＝∠PCD，∴∠ADP＝∠BCP，∴△PAD≌△PBC，∴PA＝PB.10．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠DCF＝90°，BC＝AD.又∵∠BAE＝∠CDF，∴△ABE≌△DCF(ASA)，∴BE＝CF，∴BC＝EF，∴EF＝AD.又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．11．B[解析]由于∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4，∴BD＝8.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝12AC＝12BD＝4.12．C[解析]由题意知，在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∠ADE＝12∠CDE，∴∠ADE＝30°，∠CDE＝60°.∵DE⊥AC，∴∠DCE＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OC，∴∠BDC＝∠DCE＝30°.13.52[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD.∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：BD＝AC＝62＋82＝10(cm)，∴OD＝5cm.∵E，F分别是AO，AD的中点，∴EF＝12OD＝52cm.14．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥DC，∴DC∥BE.又∵CE∥BD，∴四边形CDBE是平行四边形，∴BD＝CE，∴AC＝CE.15．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴∠BEA＝45°＝∠BAE，∠BAO＝∠BAE＋∠EAO＝45°＋15°＝60°，∴AB＝BE，△AOB是等边三角形，∴∠ABO＝60°，AB＝OB，∴∠OBE＝30°，OB＝BE，∴∠BOE＝12×(180°－30°)＝75°.16．C[解析]∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5.∵AD＝2，∴DE＝3.∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝CE2－DE2＝4.17.2＋1[解析]如图，取AB的中点E，连接OD，OE，DE.∵∠AOB＝90°，AB＝2，∴OE＝AE＝12AB＝1.∵BC＝1，四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∴DE＝AD2＋AE2＝2.当O，D，E三点共线时，点D到点O的距离最大，为2＋1.18．证明：如图，连接BE，DE，∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝12AC.∵F是BD的中点，∴EF⊥BD.19．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC.∵AB＝BE，∴∠AEB＝∠FAE＝45°.∵∠AEF＝90°，∴∠AFE＝180°－90°－45°＝45°，∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.(2)EA＝EF成立．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°，∠AEB＝∠FAE.∵BA＝BE，∴∠AEB＝∠BAE＝∠FAE.∵∠AEF＝∠ABE，∠AEB＋∠AEF＋∠FEC＝180°，∴∠FEC＝∠FAE.∵AD∥BC，∴∠FEC＝∠AFE，∴∠FAE＝∠AFE，∴EA＝EF.