7-2第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题习题有答案

第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．(2016·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．解析满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C1，12为顶点的三角形内部及边界，过C1，12时取得最大值为32.答案322．(2017·泰安模拟)不等式组y≤－x＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为________．解析作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由y＝－x＋2，y＝x－1，得yD＝12，所以S△BCD＝12×(xC－xB)×12＝14.答案143．(2017·苏北四市调研)不等式组x－y≤0，x＋y≥－2，x－2y≥－2的解集记为D，若(a，b)∈D，则z＝2a－3b的最小值是________．解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a＝－2，b＝0，z＝2a－3b取得最小值－4.答案－44．设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为________．解析由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z＝x＋2y，得y＝－12x＋12z，12z的几何意义是直线y＝－12x＋12z在y轴上的截距，要使z最小，需使12z最小，易知当直线y＝－12x＋12z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3.答案35．(2017·长春质量监测)若x，y满足约束条件y≤－x＋1，y≤x＋1，y≥0，则3x＋5y的取值范围是________．解析作出如图所示的可行域及l0：3x＋5y＝0，平行移动l0到l1过点A(0,1)时，3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1,0)时，3x＋5y有最小值－3.答案[－3,5]6．设x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为________．解析如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.答案2或－17．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为________．解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.答案18．(2017·石家庄质检)已知x，y满足约束条件x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m0)的最大值为1，则m的值是________．解析作出可行域，如图所示的阴影部分．化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由x＝1，x＋y＝3，解得x＝1，y＝2，即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.答案19．(2017·南京模拟)若变量x、y满足约束条件x－y＋1≤0，y≤1，x－1，则(x－2)2＋y2的最小值为________．解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图知C，D间的距离最小，此时z最小．由y＝1，x－y＋1＝0得x＝0，y＝1，即C(0,1)，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5.答案510．(2017·滕州模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点，则OM→·ON→的最大值是________．解析依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A12，12，B12，32，C(1,1)．设z＝OM→·ON→＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值3.答案311．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得a＋b＝2，a－b＝－3，解得a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y)．又－2＜－12x＋y＜12，5＜52x－y＜152，所以两式相加可得z∈(3,8)．法二作出不等式组－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示．平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3,8)．答案(3,8)12．已知实数x，y满足2x＋y≥0，x－y≥0，0≤x≤a，设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________．解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示．作出直线l0：x－2y＝0，∵y＝x2－b2，∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，又bmin＝－2，∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.答案10能力提升题组(建议用时：15分钟)13．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，x＋2y≤12，2x＋y≤12.设获利z元，则z＝300x＋400y.画出可行域如图．画直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值．由x＋2y＝12，2x＋y＝12，解得x＝4，y＝4，即M的坐标为(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800(元)．答案280014．(2017·常州监测)设实数x，y满足2x＋y－2≤0，x－y＋1≥0，x－2y－1≤0，则y－1x－1的最小值是________．解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1,1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点13，43时，直线AP的斜率最小，此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12.答案－1215．已知变量x，y满足约束条件x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________．解析画出x，y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a－12，∴a12.答案12，＋∞16．(2015·浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．解析∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y，如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直；∴直线OA的方程为y＝43x，联立y＝43x，x2＋y2＝1，得A－35，－45，∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×－35－4×－45＝15.答案15