球与多面体的切接关系

§1正方体与球动画显示一、正方体的内切球位置关系描述：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。o图形度量关系球的直径等于正方体棱长。aR2一、正方体的内切球例题1求棱长为2的正方体的内切球的表面积解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即441222rSrr即时练习：一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）2.4.6.8.DCBAC动画显示二、球与正方体的棱相切位置关系描述：度量关系图形二、球与正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。球的直径等于正方体一个面上的对角线长aR22即时练习：在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是332a动画显示三、正方体的外接球图形位置关系描述：度量关系三、正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。正方体的（体）对角线等于球直径aR32____________课堂练习正方体的内切球与外接球半径的比是2:1.3:2.3:1.2:1.DCBAB正方体的全面积是，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是若球面内接正方体对角面面积为，设球面内接正方体的棱长为a，则对角面面积为124323,2,242222RSaRaaaa球的面积为球半径为2a22a24解：22222442662323,3266,6,aRSaaxRxRaxaxx球的表面积为得：由则设正方体的棱长为例题2求球的表面积§2长方体与球一、长方体的外接球位置关系描述：长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心（对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”。度量关系长方体的（体）对角线等于球直径图形Rcbalcba2222，则、、分别为设长方体的长、宽、高长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是()200.50.225.220.DCBAC思考：一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体课堂练习例如，装乒乓球的盒子如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为（）3.125.2.65.DCBAaaaal6)2(222将半球补成整球由长方体内接于球知：Rl2RaRa36,2629662622222RRaRSS正方体半球所以，选B分析1B例题3则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。设正方体棱长为a，则所得长方体对角线长为如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为变式练习求半球的表面积和体积．答案：半球的表面积为27π，半球的体积为18π.6分析2aRRaaaABROBaOA26,22,,22222OABOAB设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。26232622222aaaRSS正方体半球如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.设正方体棱长为a，易知：例题4在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值。POABCDO1证明设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆⊙O1，因为PB与PC垂直，所以，BC为小圆⊙O1直径。连结PO1并延长交⊙O1于D，连结OO1.则OO1⊥平面⊙O1。易知PA⊥平面⊙O1，在小圆⊙O1中，2222PDBCPCPB2222)2(RADPDPA定值2222)2(RPCPBPA在大圆⊙O中，所以，OO1∥PA，所以球心O在A、P、D三点所确定的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆。又PA⊥PD，∴AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）。点P在直径为的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（）651052.5212.534.6.DCBA1656,65,6)2(22222222babaRcba即巩固练习设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则：sin530,cos6,0baba可设、51052)sin(51052)sin(253096sin5303cos63bacba则三条弦长之和为D§3球与棱锥切接问题举例（1）球与正四面体正四面体P---ABC的棱长为a，求它的外接球半径R和内切球半径r分析：和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。那么，点O在什么地方呢？由于P---ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ΔABC的中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等。解：OPABCDKH取BC中点D，连结AD、PD，在ΔPAD中，过P作PH⊥AD，则PH⊥底面ΔABC。∵D为BC中点，∴AD⊥BC,PD⊥BC,∴BC⊥平面PAD，∴BC⊥PH;又PH⊥AD,∴PH⊥底面ΔABC.在ΔPAD中，过A作AK⊥PD，则AK⊥平面ΔPBC那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O。当点H沿着线段PH向上移动至P时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等。据此，可猜想球心O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上。设另一条高为AK，则PH与AK的交点即为球心O。OPABCDKH连结HK，31OPOHAPKH31APKHDPDKDADH且ahRrRr3631即有：∴KH∥PA∴ΔKHO∽ΔAPO显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的外接球与内切球是同心球。而且，OP=OA=R,OH=OK=r31DPDKDADHarRar463126特别提醒：同学们只要记住如下关系式即可：rRahrR336OPABCDKH正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。如图，四边形OKDH为筝形。即有：OK=OH,DK=DH,OD⊥KH.共底边的两个等腰三角形形成的平面凸四边形叫做筝形。正四面体的外接球的球心把正四面体的一条高分成的两部分的比为()32.41.31.21.DCBAB联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即有r＝，故所求球面积为．棱长为的正四面体的所有顶点都在同一个球面上，则此球的体积为()一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A、3πB、4πC、5πD、6π2223AB1CD1题目：解1：要理解和掌握“正方体与正四面体“的这种图形上的关系，对于快速解题有很大帮助。外接球的半径2324646aR解2：342RS36.34.32.3.DCBAAC巩固练习22S＝3π（2）球与正三棱锥OPABCDHMOHPABCDM正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部球心与底面正Δ中心H重合OPACDMHB度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtΔAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtΔPHD∽RtΔPKO，或放在筝形OKDH中进行。OH=OK=r.注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P---BC---A的平面角。把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或222222)63()33(hbhhba设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，斜高为h́，内切圆半径为r，∽bhbhr363正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为（）23622332AH339396122AHPAPHA解：设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ΔABC的中心.延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°由RtΔ中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：23,)33()36(222RRR题目：题目：正三棱锥P—ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为()解析：OPABCDKHPHDOK设正三棱锥侧棱长为a，底面边长为b，∵三侧棱两两垂直，∴各侧面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱锥内切球半径公式：得：aar633333133263323633Rr又正三棱锥外接球半径aR233:)13(.3:)13(.)33(:1.3:1.DCBAD已知三棱锥P—ABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0PAPC同理，PB⊥PC,PC⊥PA,即PA、PB、PC两两互相垂直4)2(2222RPCPBPA易知，该三棱锥三个侧面均为RtΔ，所以，其侧面积为2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：说明：,,,cPCbPBaPA设则三棱锥的侧面积的最大值为（）41.21.1.2.DCBAA题目：提示：三棱锥三侧面两两垂直三侧棱两两垂直正三棱锥对棱互相垂直，即SB⊥AC,又SB∥MN,且AM⊥MN,所以，SB⊥平面SAC。故，SB⊥SA,SB⊥SC,进而，SA⊥SC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球大圆的面积为（）32SA在正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是（）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR选即,364,3,3223SABCMN题目：解析：34.9.32.3.DCBAC巩固练习从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP的距离为（）34axxaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO因PA与球O相切于点A，∴OA⊥PA,同理，OB⊥PB,OC⊥PC.∴RtΔPOA≌RtΔPOB≌RtΔPOC∴PA=PB=PC又∠APB=∠BPC=∠CPA=60°∴ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA、ΔABC为全等的等边三角形，∴P---ABC为正四面