2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)

绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设集合|(2)(3)0,|0SxxxTxx，则SIT=A.2,3B.,23,C.3,D.0,23,【答案】D【解析】易得,23,S，0,23,ST，选D【考点】解一元二次不等式、交集(2)若12zi，则41izzA.1B.1C.iD.i【答案】C【解析】易知12zi，故14zz，41iizz，选C【考点】共轭复数、复数运算(3)已知向量13,22BA，BC=(32，12)，则ABCA.30°B.45°C.60°D.120°【答案】A【解析】法一：332cos112BABCABCBABC，30ABC法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60,30,30ABxCBxABC【考点】向量夹角的坐标运算(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是A.各月的平均最低气温都在0C以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20C的月份有5个【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八月，六月为20C左右，故最多3个【考点】统计图的识别(5)若3tan4，则2cos2sin2A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A【解析】22222cos4sincos14tan64cos2sin225cossin1tan【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式xyCAB(6)已知4213332,3,25abc，则A.bacB.abcC.bcaD.cab【答案】A【解析】422123333324,3,255abc，故cab【考点】指数运算、幂函数性质(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】列表如下a426-2426-24b64646s06101620n01234【考点】程序框图(8)在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cosAA.31010B.1010C.1010D.31010【答案】C【解析】如图所示，可设1BDAD，则2AB，2DC，5AC，由余弦定理知，25910cos10225A【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A.18365B.54185C.90D.81【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为DCAB2332362393654185【考点】三视图、多面体的表面积(10)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是A.4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA，所以内接球的半径为32，即V的最大值为34932R【考点】内接球半径的求法(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】易得,2ONOBaMFMFAFacMFBFacOEONAOa12aacacacaac13cea【考点】椭圆的性质、相似(12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【答案】C【解析】1086xyONBEMPAF011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101【考点】数列、树状图第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设x，y满足约束条件1020220xyxyxy，则zxy的最大值为________.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为12,1,1,,0,12，代入目标函数可得33,,12，故最小值为10【考点】线性规划(14)函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移______个单位长度得到.【答案】23【解析】sin3cos2sin,sin3cos2sin33yxxxyxxx，故可前者的图像可由后者向右平移23个单位长度得到【考点】三角恒等变换、图像平移(15)已知f(x)为偶函数，当0x时，()ln3fxxx，则曲线yfx在点1,3处的切线方程是______【答案】210xy【解析】法一：11'()33fxxx，'12f，'12f，故切线方程为210xy法二：当0x时，ln3fxfxxx，1'3,'12fxfx，故切线方程为210xy【考点】奇偶性、导数、切线方程(16)已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,AB两点，过,AB分别作l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB，则||CD__________.【答案】3【解析】如图所示，作AEBD于E，作OFAB于F，23,23,3ABOAOF，即23331mm，33m∴直线l的倾斜角为30°32332CDAE【考点】直线和圆、弦长公式三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知数列na的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．(1)证明na是等比数列，并求其通项公式；(2)若53132S，求λ．【答案】(1)；(2)【解析】解：(1)1,0nnSa0na当2n时，11111nnnnnnnaSSaaaa即11nnaa，xyFEDCBA0,0,10,na即1即1,21nnana，∴na是等比数列，公比1q，当n=1时，1111Saa，即111a1111nna（2）若53132S则555111131113211S1【考点】等比数列的证明、由nS求通项、等比数列的性质(18)(本小题满分12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niiinniiiittyyrtt，回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()niiiniittyybtt，aybt【答案】(1)见解析；(2)0.920.10yt，1.82亿吨【解析】(1)由题意得123456747t，711.3317iiyy711777722221111()()40.17741.330.99280.55()()()()niiiiiiiiiiiiiittyytyntyrttyyttyy因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的关系(2)121()()2.890.10328()niiiniittyybtt1.330.10340.92aybt所以y关于t的线性回归方程为0.920.10yabtt将9t代入回归方程可得，1.82y预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨【考点】相关性分析、线性回归(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)8525【解析】(1)由已知得223AMAD，取BP的中点T，连接,ATTN，由N为PC中点知//TNBC，122TNBC.......3分又//ADBC，故TN平行且等于AM，四边形AMNT为平行四边形，于是//MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以//MN平面PAB.........6分(2)取BC中点E，连接AE，则易知AEAD，又PA面ABCD，故可以A为坐标原点，以AE为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴建立空间直角坐标系，则50,0,00,0,45,2,0,1,20,2,02APCNM、、、、55,1,2,0,2,4,,1,222ANPMPNN故平面PMN的法向量0,2,1n485cos,52552ANn直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525【考点】线面平行证明、线面角的计算(20)(本小题满分12分)已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△A