32非线性交调的频率设计

非线性交调的频率设计班级：12数学师范一班姓名：杨东云201215010144杜秉琨201215010130浦倩201215010139摘要本题讨论了题目给出的一类非线性交调的频率设计问题，故而先根据题中数据，利用MATLAB进行四次多项式拟合得到了一组输入与输出之间的关系式，注意到u4(t)的系数非常小，为此我们用三次多项式进行拟合，根据四次多项式和三次多项式拟合平方误差的大小比较，得到的输入与输出之间的关系为最终输入输出关系式，根据得到的关系式，结合题中条件得到了求解交调的模型，对模型进行求解，得到了六组满足条件的频率（36，42，54）（36，42，55）（36，48，54）（36，49，55）（37，43，55）（37，49，55）然后对于满足频率约束的6组配置分别计算各有关信噪比SNR,并检验是否大于10dB。经计算满足条件的只有2组，即（36，42，55）和（36，49，55），各SNR都大于10dB。最后我们对本题建立的模型的稳定性进行了验证和分析，证明了模型具有较高的稳定性。总体上来说本文建立的是一个准确的，具有较高的稳定性的模型。关键字：多项式拟合MATLAB稳定输入频率的微小波动一．问题重述在通信系统中，信号的可靠性至关重要。信号在传输过程中，往往遇到噪声干扰，干扰可能来自于系统的外部，也可能来自于系统的自身。如果一非线性器件的输入ut与输出yt的关系为2ytutut（其中t是时间），那么当输入是包含12,ff的信号12cos2cos2utftft时，输出yt中不仅包含输入信号12,ff，还包含12122,2,ffff等新的频率成分，这些新的频率成分称为交调。如果交调出现在原有频率f1、f2附近，就会形成噪声干扰。因此，在工程设计中对交调的出现有一定要求，即需要对输入信号的频率进行适当的选择，以避免交调形成噪声干扰。对于一非线性系统，输入信号112233cos2cos2cos2utAftAftAft，其中12325,10,45AAA是输入信号振幅，对123,,fff的要求为：1）1233640,4150,4653fff。2）输出中的交调均不得出现在5if的范围内（1,2,3i），此范围称为if的接收带，若交调出现在6if得范围之外，其影响可忽略不计。3）if不得出现在jf的接收带内（,1,2,3()ijij）。4）定义输出中的信噪比2210lginBSNRC（单位：分贝）。其中iB为输出中对应与if的信号的振幅（1,2,3i），nC为某一频率为nf的交调的振幅。若nf出现在nf=6if处（1,2,3i），则对应的SNR应大于10分贝。5）为简单起见，if只取整数值，且交调只考虑2阶类型（即,,1,2,3ijffij）和三阶类型（即,,,1,2,3ijkfffijk）。试按上述要求设计123,,fff的取值。二．符号说明2.1符号说明：方差2210lginBSNRC：信噪比nC：频率为nf的交调的振幅iB：if的信号的振幅if：信号频率三．问题分析众所周知，人造卫星转发器的能源大多依赖于太阳能，因而功率是非常有限的，而行波管放大器的输入输出关系便是非线性的，倘若要求工作在线性区域内则会使本来功率就非常有限的放大器的输出信号更加微弱。因此，为了获得最大的输出功率就要克服工作在非线性区域内带来的许多问题，其中之一就是由非线性（幅度，相位）引出的交扰调制（Intermodulation），简称为交调。非线性器件的输入u(t)与输出y(t)的关系是y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是时间)，当输入包含频率f1、f2的信号u(t)=cos2πf1t+cos2πf2t时，输出信号y(t)中将不仅包含输入信号f1、f2，而且还会出现2f1、f1±f2等新的频率成分，这些新的频率成分称为交调。如果交调出现在原有频率f1、f2附近，就会形成噪声干扰。工程设计中的一项任务就是在允许的范围内调整f1、f2，使得各交调对信号不构成干扰，或者是弱于干扰。解决此问题，归纳起来可分为五个步骤：1）根据已知数据建立输入输出关系式;2）在fi允许的范围内，在满足频率的约束条件下选出全部可能的配置;3）计算输出的信号频率和交调频率的系数（振幅）;4）计算各信噪比，选出合乎要求的频率设计;5）对于稳定性进行分析。四．模型假设1.交调干扰是四阶类型或三阶类型.2.交调距输入频率较远时可以忽略不计.3.不同频率输入信号频率相距较近时，会产生影响.4.系统外的干扰可以忽略不计。五．模型建立与求解1.输入与输出关系的建立根据模型的假设，我们只考虑二阶和三阶类型交调干扰。而交调是因为输入u(t)的乘方产生的。故我们用多项式拟合输入输出关系是适当的。那么拟合多项式的最高次数是多少呢？因为uk(t)可能产生不超过k阶类型的交调，为此我们应选取多项式的最高次数必定不小于3.首先，我们用四次多项23401234()[()]()()()()ytfutaautautautaut进行拟合。又系统在输入信号等于零时，输出信号也是零，为此多项式的常数项等于零，并把其它已知数据点代入，得到其拟和的结果为23740.220388()0.0472246()0.000453905()2.6716110()yutututut误差平方和4.17496.注意到u4(t)的系数非常小，为此我们考虑用三次多项式230123()[()]()()()ytfutaautautaut进行拟合，其结果为：230.244091()0.0453829()0.0004132735()yututut误差平方和4.21292.（MATLAB拟合代码见附录一）2.频率约束下的初始配置，将112233()cos2cos2cos2utAftAftAft代入输入输出关系230.244091()0.0453829()0.0004132735()yututut经整理可发现频率成分有以下几种：（1）1阶：f1，f2，f3；（2）2阶：fi+fj(i≠j)；（3）3阶：2fi+fj，fi+fj+fk(i≠j≠k)；又已知条件1233640,4150,4655fff则：3677,klfffkl10196,klfffkl这说明2阶交调均在fi的接受带之外，所以不必考虑。类似的原因，也不需要考虑fi+fj+fk和2fi+fj两种类型的三阶交调。因而只需考虑（在fi不出现fj的接受带内条件下）：d(k，j)=2fk-fj，g(k，j，l)=fk+fj-fl，l≠j≠k.满足|d(k，j)-fj|≧6及|g(k，j，l)-fj|≧6即可，由此可以选出满足频率约束条件的有6组解：（36，42，54）（36，42，55）（36，48，54）（36，49，55）（37，43，55）（37，49，55）3.关于信噪比SNR的计算根据实际问题的需要，如果交调出现在fi6的接受带内，则要求相应的信噪比SNR10dB，因而以上六组频率不一定满足信噪比的要求。为此我们要计算输出种对应频率fi的系数和各类交调2fi-fj，fi+fj-fk的系数。首先，将112233()cos2cos2cos2utAftAftAft代入输入输出关系即：230.244091()0.0453829()0.0004132735()yututut即：23333123111()coscoscoskkkkkkkkkytaAaAaA其中1332,0.24091,0.0453829,0.0004132735kkftaaa为研究方便，我们令3111coskkkAay23122coskkkAay33133coskkkAay根据前面的分析，y2中各频率成分对本问题无影响，因此可以不予考虑；y3j，也可能出现2θk-θj，θi+θj-θk(i≠j≠k),为了分析更具一般性，我们采用傅里叶分析方法：33331coskkkyaA3333111coscoscoskkjjsskjsaAAA333iiiiii33()()()2kkllssklsklsaAeeAeeAee1231233i()33,,12sjkvvvkjsvvvlskaAAAe显然，y3θ1，θ2，θ3的函数，且以2π为周期，因而将y3表示为31123123i3,,vvvkkkkkkkyCeki为整数31123i,,312312331(,,)(2)vvvkkkkCyeddd（1）其中：y3对应于11ii1,0,01,0,0(,)CeCe类型的是对应于输出频率f1的成分，即对应于1iik并且：3iik的系数为：123,,kkkC（2）y3中对应于1iik并且：3iik是可能进入接受带的交调，包括2θk-θj，θk+θj-θs类型。以C1,0,0为例1i1,0,0312312331(,,)(2)Cyeddd322311233[36()]2aAAAA同理：1,0,01,0,0CC所以两项合并对应于cosθ1的系数32231,0,01,0,011232[36()]4aDCAAAA由y(t)表达式33132312311coscoscos)(kkkkkkkkkAaAaAaty得：1111,0,0BaAD3223111123[36()]4aaAAAAA类似可求：32232122213[36()]4aBaAAAAA32233133312[36()]4aBaAAAAA对应于cos(2θ1-θ2)的系数22,1,031234DaAA对应于cos(θ1+θ2-θ3)的系数1,1,1312332DaAAAy(t)表达式中所需考虑的频率振幅分别为:（1）含频率fi的振幅：32231[36()]4iiijkaaAAAAA（2）含频率2fi-fj的振幅：312332aAAA（4）频率设计对于2中满足频率约束的6组配置分别计算各有关信噪比SNR,并检验是否大于10dB。经计算满足条件的只有2组，即（36，42，55）和（36，49，55），各SNR都大于10dB。六．模型的稳定性分析和检验6.1函数系数的稳定性分析这里我们讨论拟合多项式系数的波动对解的影响，共有6组解满足频率约束条件，其中4组不满足信噪比条件，2组满足，即我们要确定系数的变化范围，是解的还是非解。经过计算得到以下3组不等式组：设另有一个拟合多项式：)()()()(32321tuatuatuaty与上述方法相同，可得到（1）含频率fi的振幅：31322[36()]4iiiijkaBaAAAAA（2）含频率2fi-fj的振幅：3234ijaAA（3）含频率fi+fj-fk的振幅：312332aAAA计算有关信噪比，并使(36，42，55)和(36，49，55)仍为解，而其它还不是解，于是得到下列不等式：22212134310AAaB21222234310AAaB23212332310AAAaB23212132310AAAaB23222234310AAaB22232334310AAaB下式中有一个成立，解解述不等式，即可得到多项式系数的变化范围。当系数在此范围变化时，我们的结果是稳定的。333223123222212222123310231023102BaAAABaAABaAA