北京大学量子力学课件-第32讲

第三十二讲Ⅰ.分波法的散射截面和相移（1）散射振幅、散射截面和相移re)(fe)r(ikrkikzk),(Ysine1l2k4f0lli0lkl散射微分截面散射总截面*0'l0l'll)(i0'll2kYYsinsine)1'l2)(1l2(k4)('lll20l2Tsin)1l2(k4δπσ由Ⅱ．一些讨论（1）分波法的适用性41l2),0(Y0l)0(fIk4kmTA.中心力场B.不为的数要少，即或对的收敛很快才行。也就是说，分波法的适用于短力程和低能散射（2）相移符号：在较大处，自由粒子的径向波函数为l0)(TlrklrR而有位势时为所以，排斥势吸引势)2lkrsin()2lkrsin(l0l0l例1：方位阱散射（一维）ax0ax0V0x)x(V0katana'kcotk'k1a'kcotk'kkatancot例2：钢球散射ar0ar)r(V)ka()ka(jtanlll1.低能极限（）2.高能极限（）0kakatan02202022ta4k4sink4ka222ta22)ka(k4ππσ（4）全同粒子的散射A．对称微分截面和反对称微分截面在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自旋为半整数）的波函数，必须反对称（自旋，坐标同时交换）。而对于二个全同玻色子体系波函数必须对称。当二个具有自旋为s的粒子，如在总自旋表象中，总自旋波函数的对称性为)S,S(z2zSS因此，二个全同粒子的空间波函数的对称性取决于它们总自旋的奇、偶性，也就是说即描述二全同粒子散射的空间波函数必须是对称或反对称。（这时，由于自旋波函数已按对称，反对称分类）Ss2)1(1)1(SL在质心坐标系中，，交换粒子，相当于，即对于沿轴入射的定态散射波函数21rrrrrrrre)](f)(f[)ee(ikrikzikzZ即散射微分截面为（空间对称，总自旋为偶）（空间反对称，总自旋为奇）2)(f)(f)(2S)(f)(f)(2A)(f)(f)(具体对分波法而言而当)(cosPsinek1l2)(fll0lil)(cosP)1()cos(P)][cos(Pllll)(cosP)1(sinek1l2)(flll0lil(由于全同粒子交换不变性，所以对物理量的结果不受影响。这导致微分截面求和要么为奇，要么为偶，使求和的平方在下不变。)2,2,0llli2S)(cosPsine)1l2(k4)(l2,3,1llli2A)(cosPsine)1l2(k4)(lB．具有自旋为的全同粒子非极化散射对于自旋为的粒子，它的自旋态可为，所以有个态。因此，这两个全同粒子共有个态，如按对称性来分类：,有个是对称的。sss,,1s,s1s22)1s2(2sm1sm21χχ21mm1s2而可组成个态。显然，个是对称的，个是反对称的。21mm)1s2(s2)1s2(s2)1s2(s2)1s2(s2)1s2(s2][smsmsmsm1221212121所以，对称态有反对称态有当二个这样的全同粒子发生散射时，由于是非极化的，所以：①取那一种态的机会都一样；)1s2)(1s()1s2(s②由于非极化散射，则散射截面与总自旋的Z分量无关；③自旋对称的几率为自旋反对称的几率为1s21s)1s2()1s2)(1s(2因此，s为半整数时，散射微分截面为1s2s)1s2()1s2(s2)(1s2s)(1s21s)(sA)](f)(f)(f)(f[1s21)(f)(f**22θπθθπθθπθ而s为整数时，散射微分截面为)(1s21s)(1s2s)(SAθσθσθσ)](f)(f)(f)(f[1s21)(f)(f**22θπθθπθθπθ量子力学总结及要求作为本科量子力学有一基本要求:那就是☆掌握基本概念，运用基本概念；☆利用一些特殊的数学和一些特殊的近似方法处理一些基本问题，即◆正确理解和掌握量子力学的基本概念；◆能熟练地处理量子力学中的简单问题。从而，通过这一门课，在理解、分析和解决问题的能力上有所提高。在课程中，除介绍基本要求的内容外，为扩大同学的视野，还介绍一些更深一层的概念及一些有待解决的问题，如◎能量-时间测不准关系；◎量子力学的宏观表现的探索；◎测量问题的探讨。同时也介绍一些显示量子力学特点的处理手段，如◎力学量本征值的算符代数解法；◎Hellmann-Feynman定理；◎S－矩阵的正虚部极点（反射振幅的）；◎能级简并时的微扰处理；◎EPR佯谬和Bell不等式；◎磁共振当然，我们应将主要精力放在基本要求上。对于这些基本要求应牢固掌握，灵活运用。第一章：定性了解经典困难的实例;微观粒子的波–粒二重性。第二章，第三章：要全面掌握：★波函数与波函数的统计诠释；★态叠加原理；★薛定谔方程；★一维定态问题¤定态；¤知的波函数，给出t时刻的波函数；¤几率流密度矢、反射系数、透射系数和完全透射；0t应注意。，，ikxikxBeAexik1Ce2iAkjμ2RBkj21TCkjiRjjR221221AkCkAkCkT完全透射，，即¤给出波函数，能计算各种要求下的几率几率几率0B212CmkAmkrdrrrd)r(2ddrdr)r(dsin22¤一维无限深位势：波函数，能级表示，波函数性质（会推导）；¤有限方位势的解法。¤一维谐振子势：能级的能量表示，波函数性质和迭推关系。（宇称;为奇，为）★测不准关系仅要求掌握其精神及表达式n)1(n0x0第四章量子力学中的力学量厄密算符本征态的性质★运算规则;★厄密算符定义，厄密算符的本征方程;★观测值的可能值，几率振幅;★力学量完全集（包括的，即为运动常数的完全集）;★共同本征态。性质，迭推关系;★力学量平均值随时间变化，运动常数；HˆlmY★维里定律。第五章变量可分离型的三维定态问题★有心势下，薛定谔方程解在的渐近行为；★氢原子：波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握；★三维各向同性谐振子：在直角坐标和球坐标中的解，能级的结构和性质；0r★Hellmann-FeynmanTheorem仅要求理解其表达式；★电磁场下的哈密顿量；规范不变性，几率流密度矢；★正常塞曼效应及引起的原因；★均匀强场下的带电粒子的能量本征值及本征波函数；★磁通量量子化的现象及原因。第六章量子力学的矩阵形式及表象理论☆给定表象，如何求力学量的矩阵表示；☆算符的本征方程的矩阵形式；☆薛定谔方程和平均值的矩阵表示；☆知道算符矩阵表示，如何求本征值和本征函数；第七章：自旋☆自旋引入的实验证据；☆电子自旋算符，本征值及表示；☆泡利算符性质，泡利矩阵；☆自旋存在下的波函数和算符的表示；☆的共同本征态的矩阵形式；☆自旋为1/2的两粒子的态矢量；☆碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因；☆泡利原理。全同粒子的波函数结构。)Jˆ,Jˆ,Lˆ(z22第八章量子力学中的近似方法☆定态微扰论：⊙非简并定态微扰论：一级，二级能级修正；一级波函数修正的推导和公式；⊙简并定态微扰论：一级能级修正及正确的零级波函数；☆变分法用Ritz变分法求基态能级上限及近似波函数。☆量子跃迁⊙一级近似下的跃迁几率振幅和跃迁几率；⊙常微扰；⊙周期性微扰；⊙Fermi’sGoldenRule的表示式及物理含义。☆散射⊙定态散射波函数的形式；⊙散射振幅一级Born近似：rd)r(Ue41)(frqi)1(kπθ♀有心势时，有心势下的分波法和相移♀分波法的适用性♀相移符号0)1(krdrqrsin)r(Uq1)(fθ),(Ysine1l2k4)(f0lli0lklθδπθδ⊙散射微分截面及总截面；散射微分截面♀♀2),(f),(φθφθσ20Bkrdrqrsin)r(Uq1)(θσ*0'l0l'll)(i0'll2kYYsinsine)1'l2)(1l2(k4)('llδδπθσδδ分总截面♀⊙全同粒子的对称或反对称散射截面；⊙两全同粒子非极化散射截面。d),(fd),()k(2Tl20l2Tsin)1l2(k4δπσ分2)(f)(fs为半整数时，散射微分截面为s为整数时，散射微分截面为)(1s2s)(1s21s)(sA)](f)(f)(f)(f[1s21)(f)(f**22θπθθπθθπθ)(1s21s)(1s2s)(SAθσθσθσ)](f)(f)(f)(f[1s21)(f)(f**22θπθθπθθπθ