4-6正弦定理和余弦定理

(掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题/能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题)4.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即2．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.3．三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB；b＝a·cosC＋c·cosA；c＝a·cosB＋b·cosA.4．三内角与三角函数值的关系在△ABC中sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；1．在三角形ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()A.B.C.D.解析：本题考查正、余弦定理应用；由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA得：72＝52＋AC2－2·5·AC·cos120°⇒AC＝3，由正弦定理可知答案：D2．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为()A.B.C.D．解析：由余弦定理可得：cosA＝∴sinA＝，则AC边上的高h＝AB·sinA＝故选B项．答案：B3．若A、B、C是△ABC的三个内角，且A＜B＜C(C≠)，则下列结论中正确的是()A．sinA＜sinCB．cosA＜cosCC．tanA＜tanCD．cotA＜cotC解析：解法一：因为A＜C，在△ABC中，大角对大边．因此c＞a，即2RsinC＞2RsinA．所以sinC＞sinA．∴选A项．解法二：当△ABC为锐角三角形时，由于余弦和余切在(0，)内单调递减，故可排除B、D两项；当△ABC为钝角三角形时可排除C项，故选A项．答案：A4．(2009·广东卷)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝()A．2B．4＋2C．4－2D.解析：∵a＝c，∠A＝75°，∴∠B＝30°，∴b2＝a2＋c2－2accos30°＝＝＝4.∴b＝2.答案：A1.已知三角形中的两角一边，可使用正弦定理解三角形；2．已知三角形的两边及其一边对角，可利用正弦定理解三角形(也可考虑使用余弦定理)；3．已知三角形的三边或已知三角形的两边及其夹角，使用余弦定理解三角形．【例1】在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝，AC＝2，求△ABC的面积S.解答：如右图，∠B=30°，AB=，AC=2，根据正弦定理即，∴sinC=.又0°＜C＜180°，∴C=60°或C=120°.当C＝60°时，△ABC为直角三角形，S＝当C＝120°时，∠A＝30°，S＝变式1.在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝________.解析：如图，设AC＝x，根据余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA，即49＝25＋x2＋5x，整理得：解得x＝3，或x＝－8(舍去)，∴S＝AB·ACsinA＝答案：三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C做为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中．【例2】在ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC边上的中线BD＝求sinA的值．解答：如图，取AB中点E，连结DE，在△BDE中，BE＝，BD＝，又cos∠DEB＝－cosB＝设DE＝x，根据余弦定理得，BD2＝BE2＋DE2－2DE·BEcos∠DEB，即5＝.整理得：3x2＋4x－7＝0，即(3x＋7)(x－1)＝0，解得x＝1.在△DEA中，cos∠DEA＝，EA＝，DE＝1，∴DA2＝DE2＋EA2－2DE·EAcos∠DEA.＝∴DA＝.又sin∠DEA＝，根据正弦定理＝，∴sinA＝.变式2.在△ABC中，tanA＝，tanB＝.(1)求角C的大小；(2)若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长．解答：(1)∵C＝π－(A＋B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝＝－1.又∵0Cπ，∴C＝.(2)∵C＝，∴AB边最大，即AB＝又∵tanAtanB，A、B∈(0，)，∴角A最小，BC边为最小边．由且A∈(0，)，得sinA＝.由得BC＝.∴最小边BC＝.1.根据所给条件确定三角形的形状：可通过正弦定理、余弦定理进行边角转化，其具体途径是都转化为角，利用三角函数变换确定三角形形状，也可统一转化为边，利用代数式的变形，判断三角形的形状．2．三角形中的三角函数恒等变换．【例3】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA＝.(1)求sin2＋cos2A的值；(2)若a＝，求bc的最大值．解答：(1)sin2＋cos2A＝[1－cos(B＋C)]＋(2cos2A－1)＝(1＋cosA)＋(2cos2A－1)＝(2)∵，∴bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，∴bc≤a2，又∵a＝，∴bc≤.当且仅当b＝c＝时，bc＝，故bc的最大值是.变式3.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，(1)求∠A的度数；(2)若a＝，b＋c＝3，求b、c的值．解答：(1)∵B＋C＝π－A，即，由得，即2(1＋cosA)－(2cos2A－1)＝，整理得4cos2A－4cosA＋1＝0，即(2cosA－1)2＝0.∴cosA＝，又0°＜A＜180°，∴A＝60°.(2)由A＝60°，根据余弦定理cosA＝，即∴b2＋c2－bc＝3，①又b＋c＝3，②∴b2＋c2＋2bc＝9.③①－③整理得：bc＝2.④解②④联立方程组得或【方法规律】1．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式三个命题互为等价命题．2．在解三角形时，其三边可视为确定三角形的基本量，可将有关角的条件转化为边，通过解方程组进行求解；也可考虑将有关边的条件化为角解决三角函数问题．3．可利用正弦定理求三角形外接圆的半径；可利用面积求三角形的高线和三角形的内切圆半径等．4．在解三角形时，有可能需要作辅助线，如例2等.(2009·海南)(本小题满分12分)为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．【答题模板】解答：解法一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1，B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理得AM＝第二步：计算AN.由正弦定理得AN＝第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝.解法二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)．②第一步：计算BM.由正弦定理得BM＝第二步：计算BN.由正弦定理得BN＝第三步：计算MN.由余弦定理得MN＝.【分析点评】点击此处进入作业手册本题考查利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的知识；本题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点．同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力．其中距离只能得到飞机的飞行距离(其他的距离得不到)，几个俯角容易得到，下面只是选择哪个定理的问题了.