【聚焦中考】陕西省2016中考数学-第五章-四边形-第17讲-特殊的平行四边形课件

第五章四边形第17讲特殊的平行四边形性质1.边：矩形的对边平行且相等AB＝CD，AD＝BDAB∥CD，AD∥①2.角：四个角都是直角：∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠BAD＝90°3.对角线：矩形的对角线相等：AC＝BD4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有②条对称轴判定1.有一个角是③的平行四边形是矩形2.有三个角都是直角的四边形是矩形3.对角线互相平分且相等的四边形是矩形面积：S＝④（a，b表示长和宽）BC2直角ab平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：1.(2015·陕西)在▱ABCD中，AB＝10，BC＝14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为()A．7B．4或10C．5或9D．6或82.(2012·陕西)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为()A．75°B．65°C．55°D．50°DB3．(2013·陕西)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于()A.38B.23C.35D.45C4.(2014·陕西)如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为()A．4B.125C.245D．5C5．(2015·陕西)如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12.(1)如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为______________；(2)如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值．243解：(2)如图，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN＋NC＝BN＋NC′≥BC′＝BN′＋CN′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长＝BN′＋CN′＋BC＝BC′＋BC，过点A作AE⊥BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC＝60°，∴CE＝AD＝8，∴BE＝4，AE＝BE·tan60°＝43，∴CC′＝2CD＝2AE＝83，∵BC＝12，∴BC′＝BC2＋（CC′）2＝421，∴△BNC周长的最小值为421＋12矩形【例1】(2015·益阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是()A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OBD．OA＝ADD【例2】(2015·枣庄)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．解：(1)∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵O为AC的中点，即OA＝OC，又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，在△BOE和△DOF中，∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC，∴四边形ABCD为矩形【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便．[对应训练]1．(2015·南昌)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是()A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变C2．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为()(1)DC＝3OG；(2)OG＝12BC；(3)△OGE是等边三角形；(4)S△AOE＝16S矩形ABCD.A．1个B．2个C．3个D．4个C3．(2015·南宁)如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若∠DEB＝90°，求证：四边形DEBF是矩形．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，在△ADE和△CBF中，AD＝CB，∠A＝∠C，AE＝CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠DEB＝90°，∴四边形DEBF是矩形菱形【例3】(2015·厦门)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．解：∵AD∥BC，∴∠B＋∠BAD＝180°，∠D＋∠C＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM⊥BC，AN⊥DC，∴∠AMB＝∠AND＝90°，在△ABM和△ADN中，∠B＝∠D，∠AMB＝∠AND＝90°，AM＝AN，∴△ABM≌△ADN(AAS)，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．【例4】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°，∵DH⊥AB，∴OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．[对应训练]1．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是()A．四边形ABCD是梯形B．四边形ABCD是菱形C．对角线AC＝BDD．AD＝BCD2．(2015·安徽)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．25B．35C．5D．6C3．(2016·创新题)在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中正确的有()A．3个B．2个C．1个D．0个A4．(2015·益阳)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.(1)求证：AC⊥BD；(2)若AB＝14，cos∠CAB＝78，求线段OE的长．解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD(2)在Rt△AOB中，cos∠CAB＝AOAB＝78，AB＝14，∴AO＝14×78＝494，在Rt△ABE中，cos∠EAB＝ABAE＝78，AB＝14，∴AE＝87AB＝16，∴OE＝AE－AO＝16－494＝154正方形【例5】(2016·创新题)如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝∠DCB.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)要使四边形ABCD是正方形，请写出AC，BD还需要满足的条件．解：(1)∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形(2)要使四边形ABCD是正方形，AC，BD还需要满足的条件是：AC⊥BD【点评】此题主要考查了矩形的判定以及正方形的判定，熟练应用矩形、正方形的判定是解题关键．【例6】(2015·岳阳)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13，AD＝12，∵F是AM的中点∴AF＝12AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，∴BMAF＝AMAE，即56.5＝13AE，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．[对应训练]1．(2015·扬州)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．解：(1)FG⊥DE.理由如下：∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，∴∠DEB＝∠ACB，∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∴∠DEB＋∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴FG⊥DE(2)根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＋∠CBE＝180°，∴∠BCG＝90°，∴四边形BCGE是矩形，∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形2．(2015·梧州)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H.(1)求证：HF＝AP；(2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长．解：(1)∵EQ⊥BP，EH⊥AB，∴∠EQM＝∠BHM＝90°，∵∠EMQ＝∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM＝∠HBM，在Rt△APB与Rt△HFE中，∠PAB＝∠FHE，AB＝EH，∠ABP＝∠HEF，∴△APB≌△HFE(ASA)，∴HF＝AP(2)由勾股定理得，BP＝AP2＋AB2＝42＋122＝410，∵EF是BP的垂直平分线，∴BQ＝12BP＝210，∴QF＝BQ·tan∠FBQ＝BQ·tan∠ABP＝210×412＝2103.由(1)知，△APB≌△HFE，∴EF＝BP＝410，∴EQ＝EF－QF＝410－2103＝10103特殊平行四边形综合题【例7】(2015·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．解：(1)∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD(2)∵四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD