生活中的优化问题举例

3.4生活中的优化问题举例新课引入:利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用2.物理方面的应用.3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)实例探究：学校举行庆祝五一劳动节活动，需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？2128dm简化问题得模型中心128dm2不变，周围空白部分面积最小。上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm.解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm，此时四周空白面积为128x128Sx=x+4+2-128x512=2x++8,x0x求导数，得'2512Sx=2-.x当x∈(0,16)时，当x∈(16,+∞)时，.因此，x=16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小.'Sx0;'Sx0;令解得x=16(x=-16舍去)于是宽为'2512Sx=2-=0x128128==8x16解法二：由解法(一)得23287216128此时y=8816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小85122285122)(xxxxxS取最小值，时)0(8即,5122当且仅当Sxxxx问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?•你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?•是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?例2:某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最大半径为6cm.１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是3232'24y=fr=0.2πr-0.8πr3r=0.8π-r,0r6.3fr=0.8πr-2r=0≤令当r=2时，当r∈(2,6)时，当r∈(2,6)时，'fr=0.'fr0.0)('rf因此，当半径r2时，，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r2时，，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.'fr0'fr01.半径为2cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润为负.2.半径为6cm时，利润最大.我们不用导数工具，直接从函数的图象上观察，你能发现什么？2332rfr=0.8π-r3yxo从图象上容易看出，当r=3时,f(3)=0，即瓶子的半径是3cm时，利润与成本相等；当r3时，利润才为正值.ryo)3(8.0)(23rrrf231、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)0,2、当半径为6cm时，利润最大。从图中可以看出:ryo)3(8.0)(23rrrf23从图中，你还能看出什么吗？从图象上容易看出，当r=3时,f(3)=0，即瓶子的半径是3cm时，利润与成本相等；当r3时，利润才为正值.问题3、磁盘的最大存储量问题(1)你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？(2)你知道磁盘的结构吗？(3)如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的信息？例2磁盘的最大存储量问题:简化得模型•道间距是m•每比特占磁道长度大于等于n，•所有磁道比特数相同•最外磁道不用。Rr例3：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环行区域。(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？(2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：存储量=磁道数×每磁道的比特数)(22)(rRrmnnrmrRrf(1)它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。(2)为求f(r)的最大值，先计算0)(rf)2(2)(rRmnrf0)(,2;0)(,2rfRr　　rfRr时当时当0)(rf　　　令mnR，Rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2Rr解得例4:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR解得3222VRVh从而即h=2R.答罐高与底的直径相等时,所用材料最省.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？课堂练习1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．2.课本如何解决优化问题?优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．作业课本习题5，6