中考数学复习 第二章 特殊三角形课件 新人教版

等腰三角形的性质与判定1.性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形:1,三个角都相等的三角形是等边三角形。2,有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3,在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数，求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.ABCD12例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则△ABC为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.请说明AC=BD的理由.解∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BD2121ABCD例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如图，在等边△ABC中,AF=BD=CE,请说明△DEF也是等边三角形的理由.解：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BC=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例6.如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。例7.如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.请说明BP=2PQ的理由.思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例8：如图、在△ABC中，D，E在直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD，求∠EAC的度数。探索：如图、在△ABC中，D，E在直线BC上，且AB=AC=CE=BD，∠DAE=100°，求∠EAC的度数。DECBADECBA1.下列结论叙述正确的个数为（）（1）等腰三角形高、中线、角平分线重合；（2）等腰三角形两底角的外角相等；（3）等腰三角形有且只有一条对称轴；（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。9.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？解：如图，令CD＝x，则AD＝x，AB＝2x∵底边BC＝5∴BC＋CD＝5＋xAB＋AD＝3x∴(5+x)：3x＝2:1或3x：(5+x)=2:1ＡＢＣＤxx2x510、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，试说明BD=DE的理由.ABCED12解:∵△ABC是正三角形∴∠ABC=∠ACB=600（）∵D是AC边上的中点∴∠1=∠ABC=300（）12∵CE=CD∴∠2=∠E（）∵∠2+∠E=∠ACB=600（）∴∠E=300，∴∠1=∠E∴BD=DE（）3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CFBACED123F分析：CD=CF∠1=∠2∠1=∠B+∠BAD∠2=∠3+∠DAC∠3=∠B∠1=90°－∠BAD∠２=90°－∠CAD∠ACB=90°，CE是AC边上高1在直角三角形中，两个锐角_______。2、直角三角形_____________的平方和等于_______的平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+_____=_____。3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边的平方，那么这个三角形是直角三角形，________所对的角是直角。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于_____度，那么它所对的直角边等于_________的一半。5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,那么这条直角边所对的角等于300。互余两直角边斜边a2b2c2较小较大斜边30斜边斜边的一半直角三角形全等的判定方法：ABCA′B′C′1)ASA,AAS2)SAS3)SSS4)HL3、如果等腰三角形底边上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的三内角分别是_______________。4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东南方向航行，那么它们离开港口1.5小时后，相距__________千米。温故知新:（一）填空1、在ΔABC中，如果∠A+∠B=∠C，且AC=1/2AB，则∠B=_______。2、如图ΔABC中，∠ACB=90o,CD⊥AB,垂足是D,BC=5cm，BD=1/2BC，则AD=cm。ACBD30o7.530o30o120o30(二)、选择。1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是：（）A、b2=a2-c2B、∠C=∠A-∠BC、∠A：∠B：∠C=3：4：5D、a:b:c=12:13:152、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、一条直角边和一个锐角分别相等B、两条直角边对应相等C、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等3、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC(2)DE⊥AC,(3)∠CAB=30o(4)∠EAF=∠ADE,期中正确结论的个数是:()A、一个B、两个C、三个D、四个4、如图，在ΔABC中，∠ACB=90o，CD是高线，E是AB上一点，且AE=AC，∠ACE：∠ACD=3：1，则与∠DCE相等的角是（）A、∠AB、∠BC、∠BCED、以上都错EFCBDA第三题BACDE第四题6、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为（）（A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米CDA5、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米。那么梯足将滑（）（A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受台风影响至少离B地多远？解：作AD⊥BF∵由已知可得：∠FBA=300∴AD=1/2AB=150KM而150＜200∴A城会受到台风的影响应用与延伸:例9、如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？如果你是气象员，请你算一算。东北FBA600D例10、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=7，BD=6,求∠BCD的度数分析：∵AB=AD∴点A在线段BD的中垂线上同理点也在BD的中垂线上∴AC⊥BD且平分BD∵BD=6∴BO=3∵AB=5由勾股定理得AO=4∵AC=7∴OC=3∴△BOC等腰直角三角形∴∠BCO=45°同理∠DCO=45°∴∠BCD=90°ABDCO例11、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4，BC=3,AD=12，DC=13，求四边形ABCD的面积ABCDABCDE如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，BC=3，CD=2，求AB2的值例12、如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，请说明：1、BD平分EFDBACEGF图（1）ABCDFGE图（2）2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时其余条件不变，上述结论