第五章 简单弹塑性问题

第五章简单的弹塑性问题§5.1弹塑性边值问题的提法§5.2薄壁筒的拉扭联合变形§5.3受内压的厚壁圆筒§5.4柱体的弹塑性自由扭转§5.5旋转圆盘塑性力学简单的弹塑性问题§5.1弹塑性边值问题的提法一、弹塑性全量理论边值问题i)在V内的平衡方程:16;0,ijijFii)在V内几何关系（应变-位移关系）:26;,21,ijjiijuuiii)在V内全量本构关系:,32ijijes,21kkkkE边界Su上给定位移，要求应力，应变，位移，它们满足设在物体V内给定体力iF，在应力边界ST上给定面力Ti，在位移iuijijiu以下方程和边条件：简单的弹塑性问题)46(,ijijTlv)在上位移边界条件：uS)56(iiuu二、弹塑性增量理论的边值问题i)在V内的平衡方程)76(0,ijijdFd其中是外法线的单位向量；jlTS由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。iv)在上的应力边界条件:TSii)在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：)86(),,(21ijjiijdudud简单的弹塑性问题iii)在V内的增量本构关系：;210)(ijkkijijijdEvdGdf，弹性区：，0)(ijf,21ijijijfddsGde,21kkkkdEvd,0,0,0,0ijijijijdfdfdfdfd塑性区：(a)对于理想塑性材料，屈服函数为，则)(ijf简单的弹塑性问题弹性区：;210)(ijkkijijijdEvdGd。，0)(ij,21ijijijddsGde,21kkkkdEvd,0,,0,0ijijijijdddhddd塑性区：（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为，则),(aijh简单的弹塑性问题iv）在ST上的应力边界条件：)116(;ijijdTldv）在Su上的位移边界条件：)126(;iiudduvi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面的法向为ni，则在上有：(a)法向位移连续条件)136(;)()(ipiiEindundu(b)应力连续条件)146(;)()(ipijiEijndnd上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。简单的弹塑性问题§5.2薄壁筒的拉扭联合变形考察薄壁圆筒承受拉力P和扭矩T联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐标，取z轴与筒轴重合。设壁厚为h，筒的内外平均半径为R，则筒内应力为：)156(,2/,2/2hRTRhPzz其余应力分量均为0。因此，不但应力状态是均匀的，而且每一种外载（拉、扭）只与一个应力分量有关，调整P和T之间的比值，即可得到应力分量间的不同比例。假设材料是不可压缩的（v=1/2）、理想塑性的Mises材料。采用以下无量纲量：在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出)176(,,/,/szsz,/,/szsz简单的弹塑性问题进入塑性以后，Mises屈服条件：222231szzJ可化为：)186(122下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。对理想弹塑性材料，增量本构方程是Prandtl-Reuses关系，于是：无量纲化后得到：消去得：d)216(dddd一、按增量理论求解,321zzzddEdzzzddGd2121,ddd,ddd简单的弹塑性问题由（6-18）式知,012dd及故21/ddd从（6-21）式中消去和，就有：d)226()1(122dddd同样地，)236()1(122dddd如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路径)(则积分（6-22）或（6-23）式就可得到~~关系或关系。简单的弹塑性问题保持常数的阶段ab上，设在a点有由于在ab上，，00,0d例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑方程（6-22）变为：),1/(2ddOabcde图6-1积分并利用a点的已知条件，得出：)246(1111ln21000类似地，对于阶段bc,)256(1111ln210000简单的弹塑性问题二、按全量理论求解由于假设了材料不可压，由（5-63）式)266(,3,3232zzzz,21;3zrss而化后得应力-应变关系为将(6-26)式按(6-16)式无量纲)276(/,/2222在本问题中用分量写出来就是：2/1vijije，故ijijs32简单的弹塑性问题在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O到达点C)1,1(在弹性范围内，,，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是122。可见图中的阴影区域是弹性范围。路径①沿OBC。在B点有。0,000在BC段上有,11ln21解出,tanh1122yyee在C点)306(65.01,76.011222ee类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得65.076.0和三、算例和比较（1）用增量理论求解OCABD①②③简单的弹塑性问题。707.021刚到达屈服，同时满足和122由此得出在D点时的应力为：不难证明沿DC段皆有，即应力值不变，在C点也就仍为)316(707.0,707.0（2）用全量理论求解)326(707.0,707.01代入（6-27）式得出21亦即C点的应变i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同；ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。由以上的结果可知：路径③是比例加载路径ODC，其上dd。在到达D点时，简单的弹塑性问题该问题可简化为平面应变问题，采用柱坐标(r,θ,z),则：)1196(,rudrdur在轴对称条件下：)1206(0rdrdrr应力边界条件为:)1216(.,0;,brarprr当当而筒两端的端面条件：§5.3受内压的厚壁圆筒bazAzrdrdAP)1226(2这里P是端面的轴向拉力。一、研究对象和基本方程考虑一个内径为a，外径为b的长圆柱厚壁筒在均匀内压p作用下的弹塑性变形。上式中u为径向位移。0,0rzzconst几何关系平衡方程简单的弹塑性问题在弹性范围内，本构关系上Hooke定律:二、弹性解)],([1zrrvE)],([1rzvE)],([1rzzvE（6-119）至（6-123）式构成厚壁筒的弹性问题，其解为：,01,012222rbprbpr),(/2220abPEpvz,)21(102rvrbrpEvu简单的弹塑性问题其中)(2,2220222abEavpPabpap现在讨论在什么条件下z是中间主应力。由于),(/,0,222maxminabPpzr可知若要z是中间主应力，以下条件应成立：),/(22)(/022222abpapabP或即220paP如果圆筒两端是自由的，则0P；如果圆筒两端是封闭的，则2paP可见这两种情况都符合（6-126）条件，能保证z是中间主应力。采用Tresca屈服条件。当r=a时屈服：srabp222即屈服将首先发生在内壁，此时sbap222(6-126)(6-125)简单的弹塑性问题相应的内压p即为厚壁筒的弹性极限压力)1(222bapseb）当弹性无限空间内的圆柱形孔洞受到内压作用时（例如对于有压隧洞），其内表面开始屈服时的压力值只与周围的材料的性质有关，而与孔洞的半径无关。说明：2sa)若在弹性范围内设计,对给定的a值,要提高筒所能承受的内压,就必须增加壁厚,但pe的值不可能超过。在设计高压圆筒（如炮管）时应采取其他措施（如下面将要介绍的经过局部塑性变形使之产生有利的残余应力，以及装配有预应力的套筒等）来加以增强。简单的弹塑性问题当epp时，筒的内壁首先屈服。当epp时，塑性区便由r=a逐渐向外扩张。设弹性区和塑性区的交界处r=c，下面分别对弹性区和塑性进行计算。（1）弹性区brc三、弹塑性解（理想塑性材料）得出应力分布为).1(22222rbbcs),1(22222rbbcsr将内层塑性区对外层弹性区的压应力看作作用于内径为c外径为b的弹性圆筒上的内压力。crr|利用弹性解的结果：)1(2|22bcpsecrr在r=c处，材料刚达到屈服，对外层弹性筒来说，(6-127)中的应为。epep(6-124)中的应写成psecbcpcbcp)2()(22222简单的弹塑性问题进而根据弹性区的本构方程求出,022Ebcsz.12121022rrrBcEus（2）塑性区cra平衡方程为0rdrdrr同时，仍假定z为中间主应力，采用Tresca屈服条件：sr将（6-132）代入（6-131）式得rdrdsr积分一次，并利用边界条件parr定常数，则简单的弹塑性问题0)ln1(pars0lnparsr可见塑性区内的应力只与厚壁筒内表面的边界条件有关，而与弹性区的应力场无关。、rpacbcssln)1(222从而)1(21ln22bcacps确定c与p的关系:（3）弹塑性边界的确定crrcrrcr)应满足r的连续条件，即根据弹塑性区交界处(简单的弹塑性问题将（6-134）式代回（6-133）式得出当c=b时，塑性区扩展到整个圆筒，对应的外载p为厚壁筒的塑性极限压力:)1366(lnabpssb塑性极限压力却是无限的，即时spsp在塑性极限状态下，周向应力的最大值发生在筒外壁，它恰等于s)1(21ln22bccrsr)1(21ln22bccrsr2sep可见，弹性极限压力ep是有限的，即b时（4）塑性极限状态简单的弹塑性问题(5)塑性区内的位移u和应力z厚壁筒塑性区应力所在的屈服面是0srf)1(:0:1::prpzpddd即0,pzpprddd这说明，在全部筒壁内,0constezz即z必是弹性的，且为常数。在塑性区内求r和是静定问题，但是要求z和u，就必须用到本构关系。于是，相关连的流动法则给出cra范围内于是在1376ln2120Earps0Erz下面用与Tresca屈服条件相关连的流动法则来解zu和简单的弹塑性问题现在端面条件（6-122）可以写成,22rdrrdrPbczcaz