2011高考数学北师大版一轮复习：1.4《二次函数与简单的幂函数》

第四节二次函数与简单的幂函数1．二次函数的三种表示形式(1)一般式：f(x)＝．(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝．(3)两根式：若二次函数图像与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，则其解析式为f(x)＝．ax2＋bx＋c(a≠0)a(x－k)2＋h(a≠0)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)知识整合2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图像定义域值域RR4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a增减性在x∈上单调减在x∈上单调增在x∈上在x∈上奇偶性b＝0时为，b≠0时为对称性图像关于直线x＝成轴对称图形a、b、c的作用a决定图像，a与b决定对称轴位置，c决定图像与y轴的交点位置，a、b、c决定图像的顶点－∞，－b2a－b2a，＋∞－∞，－b2a－b2a，＋∞单调增单调减偶函数非奇非偶函数开口方向－b2a3.幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是，α为．问题释疑:幂函数与指数函数有何不同？【提示】本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．自变量常数1．若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)是()A．f(x)＝x2－1B．f(x)＝5x2C．f(x)＝－x2D．f(x)＝x2【解析】形如f(x)＝xd的函数是幂函数，其中d是常数．【答案】D活学巧用2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3【解析】∵y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴α＝－1不合题意．排除B、C、D，故选A.【答案】A3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m2－1)x＋1是偶函数，则在区间(－∞，0]上，f(x)是()A．增函数B．减函数C．常数函数D．可能是增函数，也可能是常数函数【解析】∵f(x)为偶函数，∴m2－1＝0，即m＝±1.当m＝1时，f(x)＝1为常数函数；当m＝－1时，f(x)＝－2x2＋1，在(－∞，0]上为增函数．【答案】D4．拋物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.【解析】因＝0，∴4×8×(m－7)－(m－1)2＝0.∴m＝9或25.【答案】9或255．设函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝________.【解析】首先作出当x≤1时，y=x2+1的图像，如图所示，则关于x=1与之对称部分仍是拋物线，顶点为(2,1)，于是当x＞1时，y=(x-2)2+1，即y=x2-4x+5.【答案】x2-4x+5幂函数的定义例1已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数；(3)是正比例函数；【思路点拨】(1)(3)分别利用相应函数的定义确定m的值，(2)中利用幂函数的性质与幂指数之间关系，确定m.感悟高考【解析】(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.(2)若是幂函数且又是(0，＋∞)上的增函数，则－5m－3＞0，即m＜－，∴m＝2(舍去)，故m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－.二次函数的最值例2:已知f(x)＝x2－ax＋(a＞0)在区间[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．【解析】f(x)＝x－a22＋a2－a24，又x∈[0,1]，且a＞0∴g(a)＝fa2，0＜a2＜1，f(1)，1≤a2，⇒g(a)＝a2－a24，(0＜a＜2)，1－a2，(2≤a).当0＜a＜2时，g(a)＝a2－a24＝－14(a－1)2＋14≤14；当a≥2时，g(a)＝1－a2≤1－22＝0.∴当a＞0时，g(a)≤14，即g(a)的最大值为14.注:(1)含有参数的二次函数的最值问题，因其顶点相对于定义域区间的位置不同，其最值状况也不同，所以要根据二者的相关位置进行分类讨论．(2)本题是“定”二次函数，“动”区间，依照此法也可以讨论“动”二次函数，“定”区间为二次函数问题．1．函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．(1)试写出g(t)的函数表达式；(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．【解析】(1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.从而g(t)=(2)g(t)的图象如图所示．∴g(t)的最小值为-8.二次函数的综合问题例3:已知函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足条件f(－x＋5)＝f(x－3)，且方程f(x)＝x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m,3n]？如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)函数f(x)满足f(－x＋5)＝f(x－3)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故－b2a＝1，b＝－2a.又方程f(x)＝x有等根，即ax2＋(b－1)x＝0有等根，∴b＝1，a＝－12.∴f(x)＝－12x2＋x.(2)由f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋12在区间[m，n]上有值域[3m,3n]则3n≤12，n≤16，故m＜n≤16，∴f(x)在[m，n]上为增函数，∴f(m)＝3m，且f(n)＝3n，m，n是方程f(x)＝3x的两个不等根，∴－x2＋x＝3x，则x2＋4x＝0，解得x＝0或－4，∵m＜n∴m＝－4，n＝0.注:本题由f(－x＋5)＝f(x－3)知道f(x)关于x＝1对称，若f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)关于x＝对称，若f(x＋a)＝f(x－b)，则f(a)为周期函数；其周期为a＋b.2．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a＜0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式．【解析】(1)由f(x)＝x，得ax2＋3x＋b＝0(a＜0，a、b∈R)有两个不等实根为α、β，Δ＝9－4ab＞0，α＋β＝－3a，α·β＝ba.由|α－β|＝1，得(α－β)2＝1，即(α＋β)2－4αβ＝9a2－4ba＝1，∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a＜0，a、b∈R)．精练解析(2)由(1)得a(a＋4b)＝9，∵a、b均为负整数，∴a＝－1a＋4b＝－9或a＝－9a＋4b＝－1或a＝－3，a＋4b＝－3，显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有a＝－1，a＋4b＝－9，∴a＝－1，b＝－2，故所求函数解析式为f(x)＝－x2＋4x－2.二次函数是高考的热点问题，其考查形式多以选择、填空形式出现，其难度为中档题，在考查时易与不等式、集合、结合考查．1．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()A．－2B．－1C．1D．2【解析】∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a是偶函数∴1－a＝0，∴a＝1，故选C.【答案】C高考瞭望2．如果二次函数f(x)＝3x2＋mx＋1在区间－∞，－13上是减函数，在区间－13，＋∞上是增函数，则函数f(x)在区间[－1,1]上的最大值是()A．2B．－23C．6D.23【解析】由得m＝2，所以函数f(x)＝3x2＋2x＋1，于是函数f(x)在[－1,1]上的最大值是f(1)＝6.【答案】C