2011高考数学北师大版一轮复习：3.5《空间直角坐标系》

第五节空间直角坐标系1．空间直角坐标系以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做，x轴，y轴，z轴统称，由坐标轴确定的平面叫做．坐标原点坐标轴坐标平面知识整合空间直角坐标系中的坐标平面把空间分成几部分？【提示】八部分2．空间两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)：①关于原点的对称点是(－x，－y，－z)．②关于x轴的对称点是(x，－y，－z)．③关于y轴的对称点是(－x，y，－z)．归纳拓展④关于z轴的对称点是(－x，－y，z)．⑤关于xOy坐标面的对称点是(x，y，－z)．⑥关于yOz坐标面的对称点是(－x，y，z)．⑦关于zOx坐标面的对称点是(x，－y，z)．1．以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点的坐标为()A.12，1，1B.1，12，1C.1，1，12D.12，12，1活学巧用【解析】画出图形即知CC1的中点坐标为1，1，12.【答案】C2．已知点A(－3,1，－4)，则点A关于原点的对称点为()A．(1，－3，－4)B．(－4,1，－3)C．(3，－1,4)D．(4，－1,3)【解析】两个点关于原点对称，则各个坐标互为相反数．【答案】C3．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则|OB→|2等于()A．(9,0,16)B．25C．5D．13【解析】A在xOz平面上射影为B(3,0，－4)，则OB→＝(3,0，－4)，|OB→|2＝25.【答案】B4．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．【解析】求线段AB的坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝(0－0)2＋(5－4)2＋(－7－3)2＝101.【答案】1015．已知点A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，点P的坐标为________．【解析】由题意，可设点P(0,0，z)，由|PA|＝|PB|，得12＋(－2)2＋(1－z)2＝22＋22＋(2－z)2，∴2z－6＝0，∴z＝3.即P(0,0,3)．【答案】(0,0,3)空间中点的坐标的确定感悟高考已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AB、BB1、B1C1、A1C1的中点，且正方体的棱长为2.建立适当的坐标系写出点E、F、G、H的坐标．【思路点拨】不同的建系方法，点的坐标不同，适当的建系，可使所求点的坐标简单．【解析】以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴、建立空间直角坐标系，如下图所示则A(2,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，A1(2,0,2)，所以，由中点坐标公式可得E(2,1,0)，F(2,2,1)，G(1,2,2)，H(1,1,2)．空间中的对称已知矩形ABCD中，A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，求顶点D的坐标．【解析】∵矩形的对角线互相平分，∴AC的中点即为BD的中点由已知，AC中点M为72，4，－1.设D(x，y，z)，则x＋22＝72，y－52＝4，z＋12＝－1.∴x＝5，y＝13，z＝－3.∴D(5,13，－3)．(1)关于原点对称，三个坐标变为原坐标的相反数；(2)关于哪条轴对称，对应坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数，如M(1,3，－2)关于x轴的对称点坐标为M′(1，－3,2)；(3)关于坐标平面的对称点，由x，y，z，O中的三个字母表示的坐标平面，缺少哪个字母的对应坐标变为原来的相反数，其它不变．如N(1,3，－2)关于坐标平面xOz的对称点N′(1，－3，－2)．1．已知A(a,2,3)与B(4,5,6)关于直线x－y＋2z＝0对称，求a.【解析】由题意知，线段AB的中点M4＋a2，5＋22，6＋32在直线x－y＋2z＝0上，∴4＋a2－72＋2×92＝0，∴a＝－15.空间两点间距离如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|=|CB|=|CA|=2，AC⊥CB，D、E分别是棱AB、B1C1的中点，F是AC的中点，求DE、EF的长度．【解析】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系∵|C1C|=|CB|=|CA|=2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，一个点的横坐标，就是这个点在x轴上投影的横坐标；一个点的纵坐标，就是这个点在y轴上投影的纵坐标．一个点的竖坐标，就是这个点在z轴上投影的竖坐标．例如，点(a，b，c)在坐标平面xOy上的投影点的坐标为(a，b,0)，在x轴上的投影点的坐标为(a,0,0)．2．已知在空间中有三角形ABC，其中A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，则三角形ABC的面积等于________．【解析】根据两点间的距离公式可得：AB＝(1＋1)2＋(－2＋1)2＋(－3＋1)2＝3，BC＝(－1－0)2＋(－1－0)2＋(－1＋5)2＝32，AC＝(1－0)2＋(－2－0)2＋(－3＋5)2＝3，满足AB＝AC，且AB2＋AC2＝BC2，即三角形ABC是以A为直角的等腰直角三角形，所以其面积等于S＝12·AC·AB＝12·3·3＝92.【答案】92空间直角坐标系是平面直角坐标系知识的推广，高考主要考查空间直角坐标系的建立及距离的计算，题型多以选择题、填空题形式，难度较小．1．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是__________．【解析】设M的坐标为(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0.∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．【答案】(0，－1,0)高考瞭望2．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为()A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面【答案】A【解析】y变化时，点P的x坐标为1，z坐标为2保持不变，点P在xOz平面上射影P′(1,0,2)，∴P点的集合为直线PP′，它垂直于xOz平面．故选A