2011高考数学总复习课件13.6 数系的扩充与复数的引入 .exe

实部虚部b=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=d复数要点梳理1.复数的有关概念(1)复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的和.若，则a+bi为实数,若，则a+bi为虚数,若，则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di(a,b,c,d∈R).基础知识自主学习(3)共轭复数:a+bi与c+di(a,b,c,d∈R).(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做虚轴.实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示.(5)复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作或，即|z|=|a+bi|=.a=c,b=-dx轴y轴实数纯虚数非纯虚数|z||a+bi|OZ22ba2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=一一对应一一对应OZ平面向量(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i④除法:=.(c+di≠0)(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.i)i)((i)i)((ii21dcdcdcbadcbazz22i)()(dcadbcbdacz2+z1z1+(z2+z3)基础自测1.(2009·北京理，1)在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z=i(1+2i）=-2+i,∴复数z在复平面内对应的点为Z（-2，1），该点位于第二象限.B2.下列命题正确的是()①(-i)2=-1;②i3=-i;③若ab,则a+ib+i;④若z∈C，则z20.A.①②B.①③C.②③D.①②④解析虚数不能比较大小，故③错误；若z=i,则z2=-10,故④错误.A3.（2008·浙江理，1）已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A.1B.-1C.D.-解析因为该复数为纯虚数，所以a=1.i1ia2i)1(1i)1i)(1(i)1i)((i1iaaaai,2121aaA224.（2009·山东理，2）复数等于()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i解析i1i322i1ii23i)1i)(1(i)1i)(3(i1i3.i22i24C5.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z=.解析=iz,代入z-=2i，得z-iz=2i,z-1+izzz.i1i1i2zz题型一复数的概念及复数的几何意义已知复数试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解【例1】).i()65(16722Raaaaa2az思维启迪,167065,)1(222有意义则有为实数时当aaaaaz.,6,6,161为实数时即或zaaaaa题型分类深度剖析（2）当z为虚数时，∴a≠-1且a≠6且a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有∴不存在实数a使z为纯虚数.,167065222有意义则有aaaaa.661,0167065222aaaaaaaa且(1)本题考查复数集中各数集的分类，题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则应先化为代数形式，再依据概念求解.(2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai(a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到这一点.探究提高知能迁移1已知m∈R，复数-3)i,当m为何值时,(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x+y+3=0上.解(1)当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-1≠0解得m=-3,故当m=-3时，z∈R.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0或m=2.∴当m=0或m=2时，z为纯虚数.mmmmm2(1)2(2z.032,01)2(2mmmmm（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,∴当m=0或m=-1±时，z对应的点在直线x+y+3=0上.032.01)2(2mmmmm则有,510,01)42(,03)32(1)2(22mmmmmmmmmmm或解得即则有5题型二复数相等已知集合M={(a+3)+(b2-1)i，8}，集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠，求整数a、b.解依题意得（a+3）+（b2-1）i=3i①或8=(a2-1)+(b+2)i②或a+3+(b2-1)i=a2-1+(b+2)i③由①得a=-3,b=±2,经检验，a=-3,b=-2不合题意，舍去.【例2】思维启迪判断两集合元素的关系列方程组分别解方程组检验结果是否符合条件∴a=-3，b=2.由②得a=±3,b=-2.又a=-3,b=-2不合题意.∴a=3,b=-2.由③得此方程组无整数解.综合①、②、③得a=-3,b=2或a=3,b=-2.两复数相等的充要条件是：实部与实部相等，虚部与虚部相等.构建方程，解方程组体现了方程的思想.本题中，复数与集合的知识相结合,体现了题目的灵活性.0304,21132222bbaabbaa即探究提高知能迁移2已知复数z的共轭复数是，且满足·z+2iz=9+2i.求z.解设z=a+bi(a,b∈R)，则=a-bi,∵z·+2iz=9+2i，∴（a+bi）（a-bi）+2i（a+bi）=9+2i即a2+b2-2b+2ai=9+2i由②得a=1代入①得b2-2b-8=0解得b=-2或b=4.∴z=1-2i或z=1+4i.zzzz229222abba②①题型三复数的代数运算计算(1)利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解.【例3】;i)31(i)22(54.i23i32)i1i1)(3(;)i12(i321i32)2(60102思维启迪解i)31(i)31(i)1(16)1(44原式.i31i3144i)31(16i)31(i)31(464i)31(i)322(i)2(16222.i2iiiiii)i22(i)i12(i321i)321i()2(125140051005100512原式（3）方法一2262)2()3(i)23i)(32(2i)1(原式.i156i3i26i6方法二（技巧解法）.i1i32ii)32(iii)23(ii)32(2i)1(662原式知能迁移3计算：.i)3(i31)4(i)1(i1i)1(i1)3(;i2i)1(3i)21()2(;ii)2i)(1()1(22223；解.i31ii3ii)2i)(1()1(3.i52515i)2i(i2ii2i33i43i2i)1(3i)21()2(2.12i12i1i2i1i2i1i)1(i1i)1(i1)3(22.i43414i)3i)((i3ii)3(i)i)(3(i)3(i31)4(22一、选择题1.（2009·陕西理，2）已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A.2iB.iC.-iD.-2i解析设z=bi(b∈R,b≠0),i12zi12ii12bzi)1i)(1(i)1)(2i(bi22222i)2(2bbbb.i2,2,02,z所以所以是实数bbD定时检测2.复数（i是虚数单位）的实部是()A.B.C.D.解析i21i52525151.52,5i2i21i实部为A3.已知i为虚数单位，则复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析i1i32zi25212i51i)1i)(1(i)1i)(32(i1i32z.)25,21(即点在第三象限对应的点为zC4.（2009·辽宁理，2）已知复数z=1-2i,那么()A.B.C.D.解析z1i55255i55255i5251i5251.i52515i21i)21i)(21(i21i2111zD5.在复平面内,若z=m2(1+i)-m(4+i)-6i所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是()A.（0，3）B.（-∞，-2）C.（-2，0）D.（3，4）解析整理得z=（m2-4m）+(m2-m-6)i，对应点在第二象限，则.43,06,0422mmmmm解得D6.已知a是实数，是纯虚数，则a等于()A.1B.-1C.D.-解析i1ia2i)1()1(2i)1i)((i1iaaaa.1,01,01aaa故则,是纯虚数A22二、填空题7.已知z1=2+i,z2=1-3i,则复数的虚部为.解析12izzi,5i)2i)(21(i2i31ii12zz.1故虚数为-18.（2009·福建理，11）若(i为虚数单位，a,b∈R)，则a+b=.解析∴1+i=a+bi,∴a=1,b=1,∴a+b=2.ii12bai,1i)1i)(1(i)1(2i122三、解答题9.计算：=i+（-i）1602=i+i2=i-1=-1+i..i711i)84(i)84()i12(i321i32222043解6021222i)1(2)32(1i)321i)(32(原式0)i1(12i13i711i)84(i)84(60212211.已知x,y为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i，求x,y.解设x=a+bi(a,b∈R)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,1111,6)(344222bababaa或解得根据复数相等得.i1i1i1i1i1i1i1i1.1111yxyxyxyxbaba或或或故所求复数为或或12.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.i2z解设z=x+yi(x、y∈R),∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵（z+ai）2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,∴实数a的取值范围是（2，6）..i)4(51)22(51i)2i)(2(51i2i2i2