3.6直线和圆的位置关系(2)

（第二课时）直线和圆相交drdr直线和圆相切直线和圆相离dr●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐=知识回顾•如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时,圆心Ｏ到直线l的距离d如何变化？B●OAl┓dαα你能写出一个命题来表述这个事实吗?切线的判定定理:经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.CDB●OA∵直线CD经过⊙O上的点A,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.这个定理实际上就是：“d=r直线和圆相切”的另一种说法。几何语言：切线需满足两个条件：1、直线经过圆上的一点，2、垂直于过这个点的半径。注意：定理中的两个条件缺一不可练一练1、判断题：2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形直角(1)垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线。（）(2)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线。（）××例:如图:AB是⊙O的直径,∠ABT=450,AT=BA．求证:AT是⊙O的切线.ATBO1.如图,已知直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,那么直线AB是⊙O的切线吗?CBAO点评：证明切线时，a.若知道直线与圆有公共点时，经常“连半径，证垂直。”２．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以Ｏ为圆心，以３为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？ＯＡＢＣ点评：证明切线时，若不能确定直线与圆有无公共点，常常“作垂直，证圆心到直线的距离等于半径。”切线的判定方法有3种：•1、定义：直线与圆只有一个公共点。•2、圆心到直线的距离等于半径。•3、定理：过圆上一点（直径的端点），且垂直于过该点的半径的直线是圆的切线。【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.O1.由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆。2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。3.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。ABC三角形与圆的位置关系（回顾）•探索：从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使其与各边都相切?ABCABC┓┓I●●●●●┓┓┓I●┓●上右图就是三角形的内切圆作法：D（1）作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求MN•这样的圆可以作出几个呢?为什么?.∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?),因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.ABCI●┓●EF定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.这个三角形叫做圆的外切三角形.内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明与它们内心的位置情况?提示:先确定圆心和半径,尺规作图要保留作图痕迹.ABCABC●●●CAB┐判断题：1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）2、三角形的外心到三角形各边的距离相等（）3、等边三角形的内心和外心重合；（）错错对•4、三角形的内心一定在三角形的内部（）•5、菱形一定有内切圆（）•6、矩形一定有内切圆（）对错对例2如图，在△ABC中，点O是内心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠BOC的度数ABCO（2）若∠A=80度，则∠BOC=（3）若∠BOC=110度，则∠A=130401.（黄冈·中考）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.F证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，故DE是⊙O的切线.2.（德化·中考）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.(2)若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径.22FEODCBA【解析】（1）直线CE与⊙O相切.∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠AE0+∠DEC=90°，∴∠OEC=90°，∴直线CE与⊙O相切.46，2BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=6AC=.22又∵∠ACB=∠DCE∴tan∠DCE=，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，解得：r=.22BCAB（2）∵tan∠ACB=∴DE=DC•tan∠DCE=1，322DECD在Rt△CDE中，CE=222CEOECO3)622rr（得，，由3.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.（2）如果∠BDE=60°，，求PA的长.3PD【解析】（1）PD是⊙O的切线.连接OD,∵OB=OD,∴∠ODB=∠PBD.又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.即∠ODB+∠ODA=90°.∴∠ODA+∠PDA=90°,即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.在Rt△PDO中，设OD=x,∴22232xx∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）∴PA=1.【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.•1。已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,∠AC=3,BC=4.•求⊙O的半径r..12543r●ABC●OABC●O.2cbar●┗┓ODEFRt△的三边长与其内切圆半径间的关系bac•已知:如图,△ABC的面积S=4cm2,周长等于10cm.•求内切圆⊙O的半径r..54r●ABC●O●┓ODEF.2cbaSr.21cbarS斜△的三边长及面积与其内切圆半径间的关系思考题：如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？ACB镇商业区镇工业区.MEDF五、作业如图，CA、CB分别切⊙O于B、A，∠C=76°，求∠D。●OCBAD•练习：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O，求证：AC与⊙O相切。BAC●D点评：证明切线时，a.若知道直线与圆有公共点时，经常“连半径，证垂直。”b.若不能确定直线与圆有无公共点时，常常“作垂直，证与半径相等。”EO通过本节的学习,你有哪些收获?自我总结:布置作业:见作业本