第三章-量子力学中的力学量

第三章量子力学中的力学量TheDynamicalvariableinQuantumMechanism引言经典粒子只有粒子性用坐标和动量来描述。状态：力学量：在任何状态下都有确定值。微观粒子波粒二象性用波函数来描述。状态：力学量：一般情况下没有有确定值。因此，在量子力学中力学量是用算符来表示。3.1表示力学量的算符Operatorfordynamicalvariable3.2动量算符与角动量算符Momentumoperatorandangularmomentumoperator3.3电子在库仑场中的运动ThemotionofelectronsinCoulombfield3.4氢原子Hydrogenatom3.5厄米算符本征函数的正交性OrthonormalityforeigenfunctionofHermiteanoperators3.6力学量算符与力学量的关系RelationshipbetweenOperatoranddynamicalvariable本章内容3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系OperatorcommuteTheHeisenbergUncertaintyPrinciple3.8力学量随时间的变化守恒律ThedynamicalvariablewithrespecttotimeTheconservationlaws§3.1表示力学量的算符1.算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号，其对一函数作用后得到另一函数。dxFˆvudx例如:dxdFˆvudxdxFˆvxu称为算符ˆFFvuˆ注意:由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义。2.算符的本征值、本征函数、本征方程若算符作用在函数上，等于一常数乘以，Fˆ即:Fˆ则称为算符的本征值，称为算符的本征函数。FˆFˆ称为算符的本征方程。FˆFˆ)()(ˆrErH例如:3.力学量的算符表示(1)动量的算符表示在量子力学中，动量用动量算符表示。即:iPPˆˆˆˆxyyPiPiPixyz在直角坐标系中的三个分量为:(2)坐标的算符表示在量子力学中，坐标用坐标算符表示。即:rrrˆ即坐标算符就是坐标自身。在直角坐标系中的三个分量为:zzyyxxˆˆˆ(3)能量的算符表示在量子力学中，能量用哈密顿算符表示。即:)(2ˆ22rUH(4)力学量用算符表示的一般规则哈密顿算符的构造:将哈密顿函数)(22rUPHrrrˆiPPˆ)(2ˆ22rUH将以上哈密顿算符构造的方法加以推广，便得出一个力学量用算符表示的一般规则:若量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符由经典表示中将动量换成动量算符，将坐标换成坐标算符而得出，即:FˆPˆPFrrˆ(,)FrP),(PrFF),(ˆ)ˆ,ˆ(ˆˆirFPrFFrrrˆiPPˆ例:动能算符Tˆ22222ˆˆPT角动量算符LˆriPrLˆˆ①以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F的算符是将经典表示换成坐中的坐标变量换成坐标算符Pirˆr)(PrFˆˆ(,)(,)PFrPFiP(,)FrP即注意②对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。力学量算符坐标表象动量表象坐标算符ˆrˆrrˆpri动量算符ˆPˆPiˆPP力学量算符ˆˆˆ,FrPˆˆˆ,,PFrPFiPˆˆˆ,,FrPFri其中ijkxyzPxyzijkPPP4.算符与它所表示的力学量之间的关系问题:能否说表示力学量的算符就是力学量?或算符等于力学量?算符与它所表示的力学量之间是什么的关系?在第二章讨论哈密顿算符的本征值问题:HˆEHˆ方程的解,3,2,1:321nn,3,2,1:321nEEEEEn本征函数：本征值：如果算符表示力学量，那么当体系处于的本征态中时，力学量有确定值，这个值就是属于该本征态的本征值。FˆFˆFˆFF推广到一般情况当体系处在的本征态时，体系有确定的能量Hˆ11E该假设回答了表示力学量的算符与该力学量的关系5.厄米算符及其性质①厄米算符的定义若对于任意两函数和，算符满足等式FˆdFdF**)ˆ(ˆ则称为厄米算符。Fˆ②厄米算符的性质设为厄米算符，其本征方程FˆFˆ证明:dFdF**)(ˆdd****（实数）厄米算符的本征值必为实数。力学量算符为线性的厄米算符。6.力学量算性质**ˆxpdxidxx例1.证明动量算符的一个分量是厄密算符。ˆxp***ˆ()xiidxpdxx证明:证明:例2.证明坐标算符的一个分量是厄密算符。xˆdxxdxx**)(因为x是实数所以x是厄密算符。§3.2动量算符和角动量算符1.动量算符的本征问题①动量算符ˆPi直角坐标②动量算符的本征方程及求解ˆ()()PPPrPr)()()()(zyxrzyxPPPP由分离变量法,令123()()()xxyyzziPxPiPyPiPzPxCeyCezCe()iPrPrAe()xxPxPdiPxdx()yzPyPdiPydy()zzPzPdiPzdz则有这正是自由粒子德布罗意波的空间部分波函数在解方程过程中，对没有任何的限制，即本征值取连续谱。PP归一化常数③归一化系数的确定两种情形归一化常数的求法具有分立谱的本征函数的归一化常数：1)()()(*2drrdrnnn具有连续谱的本征函数的归一化常数：)()()()(*2ppdrrdrpppdeAdrrrPPiPP)(2*)()(2/3)2(Aⅰ)若粒子处在无限空间中，则按函数的归一化方法确定归一化常数，即：A()3/23/211()(2)(2)xyziiPrpxpypzPree归一化本征函数为：这正是自由粒子德布罗意波的空间部分波函数，对应的本征值取连续值。Pⅱ)若粒子处在边长为的立方体内运动，则用所谓箱归一化方法确定常数。LA当粒子被限制在边长为的立方体内时，本征函数满足周期性边界条件。)(rPLxyzAA’oLzyLrA,,2zyLrA,,2,,,,22,,,,22,,,,22PPPPPPLLyzyzLLxzxzLLxyxy222111xxyyzziPLiniPLiniPLineeeeee所以本征值为：0,1,2,,0,1,2,,0,1,2,xyznnn2xyznnnPnL()xyzninjnkn由分立谱的归一化条件：2222322()LLPLLrdrAdxdydz132LA2/3LA这表明动量只能取分立值。换言之，加上周期性边界条件后，连续谱变成了分立谱。归一化本征函数rPiPeLr2/31)(粒子波函数PiEtpPr,tre④讨论ⅰ)从这里可以看出，只有在分立谱情况下，波函数才能归一化为一；连续谱情况，归一化为函数。ⅲ)在自由粒子波函数所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,Prtⅱ)由可以看出，相邻两本征值的间隔与成反比。当足够大时，本征值间隔可任意小；当时，即离散谱→连续谱。2,2,2xxyyzzPnLPnLPnL2PLLL0xPL2.角动量算符的本征问题①角动量算符ˆˆLrP直角坐标球坐标?ˆˆˆˆˆˆˆˆˆxzyyxzzyxLyPzPiyzzyLzPxPizxxzLxPyPixyyx(1)sincossinsincosxryrzr2222cos/tan/rxyzzryx(2)由上述直角坐标与球坐标之间的变换关系(2)得：rxrxxxryryyyrzrzzz(3)sincossinsincosrxryrz1coscos1cossin1sinxryrzr1sinsin1cossin0xryrz(4)由(3)、(4)得：将(5)代入(1)得角动量算符在球坐标中的表达式为：11sinsincoscoscossin11cossinsincossinsin1cossinxrrryrrrzrr(5)ˆ(sincos)xLictgˆ(cossin)yLictgˆzLi(6)2222222211ˆˆˆˆsinsinsinxyzLLLL再定义角动量平方算符：②角动量算符的本征方程及求解ⅰ)Lz算符的本征值问题本征方程zzLLˆ()ziLAezLddi在球坐标系中解为：由于为的单值函数，应有周期条件:)()()2(即：(2)zziiLLAeAe22zLmmLz本征值:(0,1,2,)m可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值（零或的整数倍）。由于z方向是任意取定的，所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。本征函数：immAe)(由归一化条件：2222200()21mdAdA归一化本征函数：imme21)(2/1A称为磁量子数m正交性：2200102imnmnddmne将归一化条件与正交性合记之得正交归一化条件：20mnmnd本征方程:22ˆLYLYⅱ）L2算符的本征值问题2222211sin(,)(,)sinsinYLY令：22/L（1）0),(),(sin1sinsin122YY在球坐标系中此为球面方程（球谐函数方程）。其中是属于本征值的本征函数。利用分离变量法及微分方程的幂级数解法，求球面方程在区域内的有限单值函数解（其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述），可得：0,02,Y2ˆL20,1,2,(1)lll（2）(,)(cos)mimlmlmlYNPe（3）(,)(,)(1)mlmlmYYlm,,2,1,0由（1）、（2）式