D1-1 函数 辽宁专升本,高等数学,树人,导航,2018

第一部分函数、极限、连续•1.1：函数–函数–初等函数•1.2：极限•1.3：连续•基本概念（集合，区间，邻域）•函数的概念•函数的特性•反函数函数1.集合（1）集合与元素集合是个最基本的概念。集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。用大写的英文字母表示。这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的。元素：集合中的对象，称之为元素。∈：表示元素与集合的属于关系。例如，N表示自然数集合，2∈N，而1.5不属于N写成1.5N。（2）有限集合与无限集合这里对有限集合与无限集合只给出朴素的定义，以后再给出严格的形式定义。有限集合：元素是有限个的集合。如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。例如，A={1,2,3},则|A|=3。无限集合：元素是无限个的集合。（3）集合的表示方法列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。例如，N={1,2,3,4,……}A={a,b,c,d}描述法：用句子(或谓词公式)描述元素的属性。例如，B={x|x是偶数}C={x|x是实数且2≤x≤5}一般地，A={x|P(x)},其中P(x)是谓词公式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。（4）说明1.集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c,a}，B={c,b,a,}，则A与B是一样的。2.对集合中的元素无任何限制，例如令A={人，石头，1，Ｂ},B={Φ,{Φ}}3.常用的几个集合符号的约定：自然数集合N={1,2,3,……}整数集合I，实数集合R，有理数集合Q4.集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义不同：如a：张书记{a}:党支部(只有一个书记){{a}}：分党委(只有一个支部){{{a}}}：党委(只有一个分党委){{{{a}}}}：市党委(只有一个党委)（5）集合间的关系一.被包含关系(子集)1.定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记作AB。文氏图表示如右下图。例如，N是自然数集合，R是实数集合，则NR谓词定义：ABx(x∈Ax∈B)AB2.性质：⑴有自反性，对任何集合A有AA。⑵有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且BC，则AC。⑶有反对称性，对任何集合A、B，有AB且BA，则A=B。二.相等关系1.定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同，则称A与B相等。记作A=B。定理：A=B，当且仅当AB且BA。证明：充分性，已知AB且BA，假设A≠B，则至少有一个元素a,使得a∈A而aB；或者a∈B而aA。如果a∈A而aB，则与AB矛盾。如果a∈B而aA，则与BA矛盾。所以A=B。必要性显然成立，因为如果A=B，则必有AB且BA。A=BABBAx(x∈Ax∈B)x(x∈Bx∈A)x((x∈Ax∈B)(x∈Bx∈A))x(x∈Ax∈B)2.性质⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B且B=C，则A=C。⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则B=A。数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:.0,且是两个实数与设a).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{)(axxaU,}{邻域的称为点数集aaxx4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,二、函数概念(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D定义:.)(}),(),{(的图形（图像）函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx注1函数由定义域D和对应法则f二要素完全决定，因此若给出函数的定义域和对应法则,也就确定了函数.它与自变量与应变量的符号无关.注2表示函数有多种方法，常见的有解析法、列表法和图象法.解析法表示函数时,若没有特别指明其定义域,则一般约定其定义域为使该解析式有意义的自变量的全体(即存在域).(1)符号sign函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x(3)取最值函数)}(),(max{xgxfy)}(),(min{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg是无理数时当是有理数时当xxxDy01)(有理数点无理数点•1xyo(4)狄利克雷Dirichlet函数+1,(,N,);()0,0,1(0,1)\.ppxpqqqqRxxxQ当既约真分数或(5)黎曼Riemann函数O0.20.40.60.810.20.40.6xy狄利克雷(Dirichlet,P.G.L.1805－1859,德国)黎曼(Riemann,B.1826－1866,德国)0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当ttEU2;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU)(2tEU即,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(2例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故三、函数的特性1.函数的有界性定义设f定义在D上.R,,(),MxDfxMfD若则称在上有上界；R,,(),LxDfxLfD若则称在上有下界；R,,(),.MxDfxMfD若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证DfDf00R,,(),MxDfxMfD若则称在上无上界；00R,,(),LxDfxLfD若则称在上无下界；π:()tan[0,),.2fxx求证在上无上界有下界例π[0,).2上有下界0R,arctan(1),MxM令π[0,).2上无上界π0[0,),(),2LxfxL，则证在因此f00π[0,),tan1,2xxMM则且在因此f2.函数的单调性1212,,,xxDxx若当时12(i)()(),fxfxfD有则称为上的增函数;12()(),.fxfxf特别有时称为严格增函数12(ii)()(),fxfxfD有则称为上的减函数;12()(),.fxfxf特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设Df定义)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI证1+211Ryxyyy由在上为正值严格增,可知()()fxgx不难知道,若和是正值严格增的,则()()fxgx也是正值严格增的.例2121N,Rnnnyx任意在上严格增;22+RRnnyx在上严格增,在上严格减.11+Rnnyyy上为正值严格增,可知在上亦正值+R在上亦正值严格增.由归纳法,若已证+Rny在严格增.12210,0,xxxx若则于是2221212121()(),()(),nnnnxxxx22212121212,Rnnnnnxxxxy即.这就证明了在21Rny上严格减,而在上严格增.121200,xxxx若或则21212121121200nnnnxxxx或，21Rny这证明了在上严格增.[]R,yx易证函数在上是增函数但非严格例增.xyO11112222343上也是严格在其定义域且有反函数)(,11Dfff.增函数(),,yfxxDf设为严格增函数则必定理11,,fff类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().xDfxy使,()fDyfD设在上严格增则证只有一个1212,()(),xxfxyfx事实上,若使f则与1.:f的严格增性质相矛盾再证必是严格增的,),(,2121yyDfyy1212,,yyfxx由于及的严格增性必有即111122(),(),xfyxfy11112()(),.fyfyf因此也是严格增函数ny因此的反函+Rnnyx由于在上严格增,例6+,Rrnryxm在上亦为严格增.1/+Rnnzx数在上严格增,故对任意有理数01,R.a时在上严格减121122,,,rrQxrrx使因此1121sup{,}xrrraarQrxaa22sup{,}.xrarQrxa1,Rxyaa证明：当时在上严格增;当例12121.,,.axxxxQ设由的稠密性,证01,R.xaa类似可证当时在上严格减log,xayxya由于是的反函数因此logayx+01,R.a当时在上严格减+log1Rayxa当时,在上严格增;3.函数的奇偶性.,:,DxDxD必有即关于原点对称设定义,()(),xDfxfx若.fD称为上的奇函数,()(),xDfxfx若.fD称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();xyGfxyGf(,)()(,)().xyGfxyGf或()Gff显然,若记为的图象,则()fx